23 Dados os vetores u e v, mostrar que (u+v)(u-v)=|u|^2-|v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois vetores u e v num espaço com produto escalar, vale a identidade
(u+v)cdot(u-v) = lvert urvert^2 - lvert vrvert^2
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais do produto escalar: a bilinearidade (distributividade em cada argumento) e a simetria ( acdotb=bcdota).

Passo 2

Aplicando a distributividade do produto escalar em cada termo, temos
(u+v)cdot(u-v) = underbraceucdotu(1) - underbraceucdotv(2) + underbracevcdotu(3) - underbracevcdotv(4)

Passo 3

Usando a simetria do produto escalar, isto é, vcdotu=ucdotv, os termos (2) e (3) se cancelam:
-,ucdotv + vcdotu = -,ucdotv + ucdotv = 0

Passo 4

Por definição do comprimento (norma) de um vetor, ucdotu=lverturvert^2 e vcdotv=lvertvrvert^2. Logo
(u+v)cdot(u-v) = lverturvert^2 - lvertvrvert^2

Resposta

(u+v)cdot(u-v) = lvert urvert^2 - lvert vrvert^2

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