Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
() dim(V)=3
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, estamos lidando com espaços vetoriais, mais especificamente com matrizes 2x2 de números reais. Nosso objetivo é determinar se o subespaço V , definido pelo conjunto de três matrizes dadas, tem dimensão igual a 3. Para isso, vamos precisar entender linearidade e dimensão em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a dimensão de um espaço vetorial. A dimensão é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para gerar todo o espaço através de combinações lineares.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se as três matrizes fornecidas são linearmente independentes. Se forem, então a dimensão de V é 3. Se não, a dimensão será menor.
Passo 4
Para verificar a independência linear, assumimos que existe uma combinação linear das matrizes que resulta na matriz zero, e procuramos ver se os únicos coeficientes possíveis são todos zero.
Vamos chamar as matrizes de A , B e C :
A = 1 & 2 1 & 0 , B = -1 & 1 1 & 0 , C = 1 & 5 3 & 0
Então, queremos encontrar escalares a , b e c tais que:
A última equação 0 = 0 não nos dá nenhuma informação, então temos três equações com três incógnitas.
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da equação 1, isolamos a :
a = b - c
Agora, substituímos a nas equações 2 e 3:
Equação 2:
2(b - c) + b + 5c = 0 2b - 2c + b + 5c = 0 3b + 3c = 0 b + c = 0 Rightarrow b = -c
Equação 3:
(b - c) + b + 3c = 0 2b + 2c = 0 b + c = 0 Rightarrow b = -c
Passo 7
Observamos que ambas as equações 2 e 3 nos levam a b = -c . Substituindo na expressão de a :
a = b - c = (-c) - c = -2c
Então, temos:
a = -2c b = -c
Isso significa que existem infinitas soluções para o sistema, todas proporcionais a c . Portanto, as três matrizes são linearmente dependentes.
Passo 8
Como as matrizes são linearmente dependentes, isso significa que uma delas pode ser escrita como combinação das outras duas. Portanto, o conjunto que define V não possui dimensão 3.
Resposta
Falso. A dimensão de V não é 3, já que as três matrizes dadas são linearmente dependentes.