Cousidere V o subespaço vetorial de M2 times 2(R), definido por:
V=[[ll 1 & 2 1 & 0 ],[cc -1 & 1 1 & 0 ],[ll 1 & 5 3 & 0 ]]
Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
()[ll 0 & 3 2 & 0 ] in V

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes que formam um subespaço vetorial V no espaço das matrizes 2 times 2 com entradas reais. O enunciado quer saber se a matriz
0 & 3 2 & 0
está dentro desse subespaço V . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre combinações lineares e subespaços vetoriais. Basicamente, vamos verificar se conseguimos obter a matriz dada usando uma combinação das matrizes que definem V .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que uma matriz A pode ser escrita como uma combinação linear de outras matrizes se existir um conjunto de escalares (números) que, quando multiplicados por essas matrizes e somados, resultam em A .
No nosso caso, queremos ver se
0 & 3 2 & 0
pode ser escrita como:
c1 1 & 2 1 & 0 + c2 -1 & 1 1 & 0 + c3 1 & 5 3 & 0 = 0 & 3 2 & 0
onde c1, c2, c3 são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar os valores de c1, c2, c3 . Igualando as entradas das matrizes, temos:
Para a posição (1,1):
c1 cdot 1 + c2 cdot (-1) + c3 cdot 1 = 0 Rightarrow c1 - c2 + c3 = 0
Para a posição (1,2):
c1 cdot 2 + c2 cdot 1 + c3 cdot 5 = 3 Rightarrow 2c1 + c2 + 5c3 = 3
Para a posição (2,1):
c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 3 = 2 Rightarrow c1 + c2 + 3c3 = 2
Para a posição (2,2):
c1 cdot 0 + c2 cdot 0 + c3 cdot 0 = 0 Rightarrow 0 = 0
Essa última equação não nos dá nenhuma informação adicional, então vamos focar nas três primeiras.

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
  1. c1 - c2 + c3 = 0
  2. 2c1 + c2 + 5c3 = 3
  3. c1 + c2 + 3c3 = 2
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos somar as equações para eliminar uma variável. Por exemplo, da equação 1, podemos isolar c1 :
c1 = c2 - c3
Agora, substituímos c1 nas equações 2 e 3:
Na equação 2:
2(c2 - c3) + c2 + 5c3 = 3 Rightarrow 2c2 - 2c3 + c2 + 5c3 = 3 Rightarrow 3c2 + 3c3 = 3 Rightarrow c2 + c3 = 1
Na equação 3:
(c2 - c3) + c2 + 3c3 = 2 Rightarrow 2c2 + 2c3 = 2 Rightarrow c2 + c3 = 1
Observamos que ambas as equações resultam em c2 + c3 = 1 . Isso significa que temos infinitas soluções para c2 e c3 , desde que somem 1. Por exemplo, se escolhermos c3 = 0 , então c2 = 1 , e c1 = 1 - 0 = 1 .

Passo 5

Com os valores c1 = 1 , c2 = 1 , e c3 = 0 , vamos verificar se a combinação linear realmente dá a matriz desejada:
1 1 & 2 1 & 0 + 1 -1 & 1 1 & 0 + 0 1 & 5 3 & 0 = 1 + (-1) + 0 & 2 + 1 + 0 1 + 1 + 0 & 0 + 0 + 0 = 0 & 3 2 & 0
Está funcionando direitinho! Conseguimos escrever a matriz dada como uma combinação linear das matrizes que definem V .

Resposta

Verdadeiro. A matriz 0 & 3 2 & 0 pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes que geram V , portanto, está dentro do subespaço V .

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