26 Sejam os vértices A=(-1,-1,2), B=(2,1,1) e C=(m,-5,3) de um triângulo A B C retângulo em A.
(a) Calcular m;
(b) Determinar o ponto H que é pé da altura relativa ao vértices A.

Passo 1

O enunciado dá os vértices A=(-1,-1,2), B=(2,1,1) e C=(m,-5,3) de um triângulo ABC retângulo em A. Vamos usar (a) a condição de perpendicularidade para achar m e (b) a projeção ortogonal para encontrar o pé da altura de A em relação a BC.

Passo 2

Para que o ângulo em A seja reto, os vetores AB e AC precisam satisfazer
ABcdotAC=0
Calculamos
AB=(2-(-1),,1-(-1),,1-2)=(3,2,-1),
AC=(m-(-1),,-5-(-1),,3-2)=(m+1,-4,1)
Logo,
ABcdotAC =3(m+1)+2(-4)+(-1)cdot1 =3m+3-8-1 =3m-6 =0 Longrightarrow m=2

Passo 3

Com m=2, temos C=(2,-5,3). Para achar o pé H da altura de A em BC, usamos a projeção de BA sobre BC. Definimos
BC=(2-2,,-5-1,,3-1)=(0,-6,2),
BA=(-1-2,,-1-1,,2-1)=(-3,-2,1)
O parâmetro da projeção é
t = BAcdotBC|BC|^2 = (-3)cdot0 + (-2)cdot(-6) + 1cdot20^2+(-6)^2+2^2 = 12+236+4 = 1440 = 720
Assim
H = B + t,BC = (2,1,1) + tfrac720(0,-6,2) = l(2,;1-tfrac4220,;1+tfrac1420r) = l(2,;-,tfrac1110,;tfrac1710r)

Resposta

m=2
H=l(2,-tfrac1110,tfrac1710r)

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