a) ponto) Determine os autovalores e os autoespaços de .
b) ponto) é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de e, em seguida, verificar se é diagonalizável. O conteúdo envolve cálculo do polinômio característico de , determinação das soluções de e resolução de para cada . Por fim, comparamos as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor para testar diagonalizabilidade.
Da primeira e a terceira é automaticamente satisfeita. Assim
e o autoespaço é
Passo 6
Para resolvemos , i.e.
Da primeira linha . Da segunda . A terceira dá que já está ok. Logo
e
que tem dimensão .
Passo 7
O autovalor lambda=3 tem multiplicidade algébrica 2 mas multiplicidade geométrica 1. Como nem todos os autovalores têm multiplicidade geométrica igual à algébrica, Tnão é diagonalizável.
Resposta
a) Os autovalores são lambda=0 (mult. alg. 1) e lambda=3 (mult. alg. 2).
O autoespaço de lambda=0 é
E0=Span(2,-3,-1),
e o autoespaço de lambda=3 é
E3=Span(-2,0,1)
b) T não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica de lambda=3 é 1<2.