Considere o operador linear T: R^3 longrightarrow R^3, definido por
T(x, y, z)=(3 x+2 y, 2 x+4 z,-y+3 z)
a) (1,5 ponto) Determine os autovalores e os autoespaços de T.
b) (0,5 ponto) T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de T e, em seguida, verificar se T é diagonalizável. O conteúdo envolve cálculo do polinômio característico de T, determinação das soluções de det(T-lambda I)=0 e resolução de (T-lambda I)v=0 para cada lambda. Por fim, comparamos as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor para testar diagonalizabilidade.

Passo 2

Na base canônica de R^3, o operador T tem matriz
M= 3 & 2 & 0 2 & 0 & 4 0 & -1 & 3
pois
T(x,y,z) = (3x+2y,;2x+4z,;-y+3z)

Passo 3

O polinômio característico é
chi(lambda)=det(M-lambda I) =det 3-lambda & 2 & 0 2 & -lambda & 4 0 & -1 & 3-lambda
Expandindo pela primeira linha,
chi(lambda)=(3-lambda)l(-lambda(3-lambda)-4(-1)r) -2l(2(3-lambda)-4cdot0r)

Passo 4

Simplificando:
(3-lambda)l(-3lambda+lambda^2+4r)-4(3-lambda) =(3-lambda)(lambda^2-3lambda)+(-4)(3-lambda) =(3-lambda)l(lambda^2-3lambda-4r)
Mas lambda^2-3lambda-4=lambda(lambda-3), então
chi(lambda)=(3-lambda),lambda(lambda-3) =-lambda(lambda-3)^2
Logo os autovalores são
lambda=0(mu< alg 1), lambda=3(mu< alg 2)

Passo 5

Para
Da primeira e a terceira é automaticamente satisfeita. Assim
e o autoespaço é

Passo 6

Para resolvemos , i.e.
Da primeira linha . Da segunda . A terceira dá que já está ok. Logo
e
que tem dimensão .

Passo 7

O autovalor lambda=3 tem multiplicidade algébrica 2 mas multiplicidade geométrica 1. Como nem todos os autovalores têm multiplicidade geométrica igual à algébrica, T não é diagonalizável.

Resposta

a) Os autovalores são lambda=0 (mult. alg. 1) e lambda=3 (mult. alg. 2).
O autoespaço de lambda=0 é
E0=Span(2,-3,-1),
e o autoespaço de lambda=3 é
E3=Span(-2,0,1)
b) T não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica de lambda=3 é 1<2.

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