Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{0}^{2} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2}3x\,dx
usando a definição pelo limite de somas de Riemann (Teorema 4). Como f(x)=3x é contínua em [0,2], podemos usar uma partição uniforme e levar n\to\infty.

Passo 2

Escolhemos uma partição uniforme P de [0,2] em n subintervalos iguais. Então cada subintervalo tem
\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}.
Tomamos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo:
x_i^* = 0 + i\,\Delta x = \frac{2i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann associada é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} 3\bigl(x_i^*\bigr)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} 3\bigl(\tfrac{2i}{n}\bigr)\,\frac{2}{n}.

Passo 4

Fatorando constantes e usando \sum_{i=1}^{n}i = \tfrac{n(n+1)}{2},
S_n = 3\cdot\frac{2}{n}\cdot\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}i = 3\cdot\frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{12}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{6(n+1)}{n} = 6 + \frac{6}{n}.

Passo 5

Pela definição de integral, fazemos n\to\infty:
\int_{0}^{2}3x\,dx = \lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(6 + \tfrac{6}{n}\Bigr) = 6.

Resposta

6

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