[23] Estude a continuidade das seguintes funções no ponto ou ao longo da reta indicada:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade da função dada por quando e . O conteúdo principal é continuidade em várias variáveis e vamos precisar usar definição de limite e o Teorema do Confronto (Squeeze).
Passo 2
Para pontos , a função é composição de polinômios e da função seno, todas contínuas em seus domínios, logo é contínua fora da origem.
Passo 3
Para estudar a continuidade em , precisamos verificar que .
Passo 4
Observamos que para todo vale . Logo
Como x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto segue que |f(x,y)|to0. Portanto lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0. Isso coincide com f(0,0), mostrando que f é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua em todo R^2, inclusive na origem.