[23] Estude a continuidade das seguintes funções no ponto ou ao longo da reta indicada:
ll(x^2+y^2) sen(1x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função f: R^2to R dada por f(x,y)=(x^2+y^2)sinl(1/(x^2+y^2)r) quando (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0. O conteúdo principal é continuidade em várias variáveis e vamos precisar usar definição de limite e o Teorema do Confronto (Squeeze).

Passo 2

Para pontos (x,y)neq(0,0), a função é composição de polinômios e da função seno, todas contínuas em seus domínios, logo f é contínua fora da origem.

Passo 3

Para estudar a continuidade em (0,0), precisamos verificar que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 4

Observamos que para todo (x,y)neq(0,0) vale |sin(1/(x^2+y^2))|<=1. Logo
|f(x,y)| = |x^2+y^2|;l|sinl(1/(x^2+y^2)r)r| <= x^2+y^2
Como x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto segue que |f(x,y)|to0. Portanto lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0. Isso coincide com f(0,0), mostrando que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todo R^2, inclusive na origem.

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