Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=cos ^2 x, x0=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor (Maclaurin, já que x0=0) de grau n para f(x)=cos^2x. O conteúdo é séries de Taylor para funções trigonométricas, e vamos precisar: a identidade de ângulo duplo para cos^2x e a série de Maclaurin de cos u.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo
cos^2x = 1+cos2x2
Ela nos ajuda evitando derivadas repetidas de cos^2x.

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin de cos u é
cos u = sumk=0^infty(-1)^ku^2k(2k)!
Substituindo u=2x vem
cos2x = sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k(2k)!

Passo 4

Então
cos^2x = 1 + sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k(2k)!2
Podemos separar o termo k=0 (que vale 1) e reescrever para k>=1:
cos^2x = 1+12 + sumk=1^infty(-1)^k2^2k-1(2k)!x^2k = 1 + sumk=1^infty(-1)^k2^2k-1(2k)!x^2k

Passo 5

Para obter o polinômio de grau n, basta truncar essa série até o maior 2k<= n. Como não aparecem potências ímpares, temos
Tn(x) = 1 + sumk=1^lfloor n/2rfloor(-1)^k2^2k-1(2k)!x^2k

Resposta

Tn(x)=1+sumk=1^lfloor n/2rfloor(-1)^k2^2k-1(2k)!,x^2k.

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