[23] Estude a continuidade das seguintes funções no ponto ou ao longo da reta indicada:
llx3 x+5 y, & y neq-35 x 0, & y=-35 x

Passo 1

Temos a função
f(x,y)= x3x+5y, & yneq -35x 0, & y=-35x
e queremos estudar a continuidade no ponto (0,0). O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição de limite em R^2 e o teste por caminhos.

Passo 2

O ponto (0,0) satisfaz a condição y=-tfrac35x, então a própria definição nos dá
f(0,0)=0
Pela definição de continuidade, precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 3

Consideramos caminhos do tipo y=kx.
Para k=-tfrac35 estamos na reta especial e a função vale sempre 0, então o limite ao longo dessa reta é 0.
Para kneq -tfrac35 temos
f(x,kx)=x3x+5(kx)=13+5k
e o limite ao longo dessa reta é tfrac13+5k, que depende de k.

Passo 4

Como o valor tfrac13+5k varia com k e difere de 0 (obtido no caso k=-tfrac35), os limites ao longo de diferentes retas não coincidem. Logo,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe.

Passo 5

Se o limite não existe, ele não pode ser igual a f(0,0)=0. Portanto, a função não é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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