[23] Estude a continuidade das seguintes funções no ponto ou ao longo da reta indicada:
Passo 1
Temos a função
e queremos estudar a continuidade no ponto
. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição de limite em
e o teste por caminhos.
Passo 2
O ponto
satisfaz a condição
, então a própria definição nos dá
Pela definição de continuidade, precisamos verificar se
Passo 3
Consideramos caminhos do tipo
.
Para estamos na reta especial e a função vale sempre 0, então o limite ao longo dessa reta é 0.
Para temos
Para
Para
e o limite ao longo dessa reta é
, que depende de
.
Passo 4
Como o valor
varia com
e difere de 0 (obtido no caso
), os limites ao longo de diferentes retas não coincidem. Logo,
não existe.
Passo 5
Se o limite não existe, ele não pode ser igual a
. Portanto, a função não é contínua no ponto
.
Resposta
A função não é contínua em (0,0).