Derive as seguintes funções:
f(x)=sen(2 x)e^x

Passo 1

O exercício pede para derivar a função f(x)=sin(2x)e^x. O tema aqui é derivadas de funções compostas e de produto/exponencial, então vamos precisar da regra do quociente (ou, de forma mais prática, reescrever como produto) e da regra da cadeia para tratar o sin(2x) e o e^x.

Passo 2

Para simplificar a derivação, a gente reescreve f(x) como produto usando e^-x=1/e^x:
f(x)=sin(2x),e^-x

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto: se f(x)=u(x),v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui definimos u(x)=sin(2x) e v(x)=e^-x.

Passo 4

Precisamos das derivadas de u e v:
  • Para u(x)=sin(2x), aplicação da regra da cadeia dá u'(x)=cos(2x)cdot2=2cos(2x).
  • Para v(x)=e^-x, derivada de e^t com t=-x v'(x)=e^-xcdot(-1)=-e^-x.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv' vem
f'(x)=2cos(2x),e^-x+sin(2x),(-e^-x)
e, em seguida, fatorando e^-x:
f'(x)=e^-xl(2cos(2x)-sin(2x)r)

Passo 6

Se preferir na forma de quociente, basta recolocar e^-x=1/e^x:
f'(x)=2cos(2x)-sin(2x)e^x

Resposta

f'(x)=e^-xl(2cos(2x)-sin(2x)r)

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