Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=e^x, x0=1

Passo 1

A gente quer encontrar o polinômio de Taylor de grau n para a função f(x)=e^x em torno de x0=1. O conteúdo aqui é polinômio de Taylor, e vamos precisar usar a definição geral que envolve as derivadas de f avaliadas em x0.

Passo 2

A definição do polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de x0 é:
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(x0)k!,(x-x0)^k
onde f^(k) é a derivada de ordem k.

Passo 3

No caso de f(x)=e^x, todas as derivadas são iguais a e^x. Portanto,
f^(k)(x)=e^xpara todo k>=0

Passo 4

Avaliando essas derivadas em x0=1, temos
$$
f{(k)}(1)=e1=e\quadpara todok.$$

Passo 5

Agora é só substituir na fórmula de Taylor:
Tn(x)=sumk=0^nek!(x-1)^k = esumk=0^n(x-1)^kk!

Resposta

Tn(x)=esumk=0^n(x-1)^kk!

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