A base e as diagonais de um retângulo estão aumentando a taxas de 1 cm / s e 2 cm / s, respectivamente. Com que velocidade, em cm/s, aumenta a altura do retângulo quando a base mede o triplo da altura?
(a) raiz10
(b) 3
© 10
(d) 2 raiz10-3
(e) 2 raiz10

Passo 1

O enunciado dá um retângulo com base b(t), altura h(t) e diagonal d(t). Sabemos que tfracdbdt=1 cm/s e tfracdddt=2 cm/s. Queremos tfracdhdt quando b=3h. O conteúdo aqui é taxa de variação relacionada (related rates) usando diferenciação implícita.

Passo 2

Pelo teorema de Pitágoras temos a relação
d^2 = b^2 + h^2
Diferenciando em relação a t (implícito):
2d dddt = 2b dbdt + 2h dhdt

Passo 3

Simplificamos cortando o 2 e isolamos tfracdhdt:
ddddt = bdbdt + hdhdt
hdhdt = ddddt - bdbdt
dhdt = ddddt - bdbdth

Passo 4

No instante pedido temos b=3h, então
d = raizb^2 + h^2 = raiz9h^2 + h^2 = hraiz10
Substituindo d=hraiz10,;tfracdbdt=1,;tfracdddt=2:
dhdt = hraiz10cdot2 - 3hcdot1h = 2raiz10 - 3

Resposta

2\sqrt{10}-3 cm/s

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