Considere a função
, definida por
É correto afirmar que:
(a)
possui mínimo global em
e
e máximo global em
.
(b)
possui mínimo global em
e máximo global em
.
©
possui mínimo global em
e máximo global em
.
(d)
não possui mínimo global e possui máximo global em
.
(e)
possui mínimo global em
e
e máximo global em
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os extremos (máximos e mínimos globais) da função f no intervalo fechado [0,4]. O conteúdo aqui é aplicação do cálculo de derivadas para localizar pontos críticos e depois comparar valores em pontos críticos e extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a derivada de f. Como f(x)=2√x−x, escrevemos √x como x^{1/2} e derivamos: f’(x)=
=
. Pontos críticos são onde f’(x)=0 ou f’ não existe. A f’ não existe em x=0, mas esse é um endpoint. Para f’(x)=0 basta
⇒ √x=1 ⇒ x=1.
Passo 3
Agora avaliamos f nos candidatos a extremos: nos endpoints x=0 e x=4, e no ponto crítico x=1. Temos: f(0)=2·0−0=0; f(1)=2·1−1=1; f(4)=2·2−4=0.
Passo 4
Comparando os valores, vemos que o maior valor de f é 1 em x=1, e o menor valor de f é 0 nos pontos x=0 e x=4. Portanto o máximo global ocorre em x=1 e o mínimo global ocorre em x=0 e x=4.
Resposta
A alternativa correta é (e): mínimo global em x=0 e x=4 e máximo global em x=1.