Considere a função f:[0,4] R, definida por
f(x)=2 raizx-x
É correto afirmar que:
(a) f possui mínimo global em x=0 e x=4 e máximo global em x=14.
(b) f possui mínimo global em x=9 e máximo global em x=1.
© f possui mínimo global em x=9 e máximo global em x=14.
(d) f não possui mínimo global e possui máximo global em x=1.
(e) f possui mínimo global em x=0 e x=4 e máximo global em x=1.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os extremos (máximos e mínimos globais) da função f no intervalo fechado [0,4]. O conteúdo aqui é aplicação do cálculo de derivadas para localizar pontos críticos e depois comparar valores em pontos críticos e extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a derivada de f. Como f(x)=2√x−x, escrevemos √x como x^{1/2} e derivamos: f’(x)= 2·tfrac12 x^−1/2−1= tfrac1√x−1. Pontos críticos são onde f’(x)=0 ou f’ não existe. A f’ não existe em x=0, mas esse é um endpoint. Para f’(x)=0 basta tfrac1√x−1=0 ⇒ √x=1 ⇒ x=1.

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos a extremos: nos endpoints x=0 e x=4, e no ponto crítico x=1. Temos: f(0)=2·0−0=0; f(1)=2·1−1=1; f(4)=2·2−4=0.

Passo 4

Comparando os valores, vemos que o maior valor de f é 1 em x=1, e o menor valor de f é 0 nos pontos x=0 e x=4. Portanto o máximo global ocorre em x=1 e o mínimo global ocorre em x=0 e x=4.

Resposta

A alternativa correta é (e): mínimo global em x=0 e x=4 e máximo global em x=1.

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