23-A expressão P(n)=40-40.2^-0,34 n permite calcular o número de artigos que um operário recém-contratado é capaz de produzir diariamente, após n dias de treinamento. Utilizando limite, determine o número de artigos que esse operário será capaz de produzir ao longo do tempo, ou seja, quando o tempo de permanência dele nessa empresa tender ao infinito.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
P(n) = 40 - 40 cdot 2^-0,34,n
que representa o número de artigos que um operário produz por dia após n dias de treinamento. O objetivo é calcular
limntoinftyP(n)
O conteúdo aqui é limite de função envolvendo exponencial, e vamos usar a propriedade de que potências com base em (0,1) tendem a zero quando o expoente cresce sem limite.

Passo 2

Observamos a parte exponencial 2^-0,34,n. Note que a base 2 elevada a um expoente negativo -0,34,n pode ser reescrita como
2^-0,34,n = l(2^0,34r)^-n
Como 2^0,34>1, temos l(2^0,34r)^-nto0 quando ntoinfty.

Passo 3

Agora aplicamos o limite em P(n):
limntoinftyP(n) = limntoinftyl(40 - 40cdot 2^-0,34,nr) = 40 - 40cdotunderbracelimntoinfty2^-0,34,n0 = 40

Resposta

O operário tenderá a produzir, ao longo do tempo, 40 artigos por dia.

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