Em cada caso, use o Teorema de Gauss para calcular a Integral de Linha de Fluxo do Campo Vetorial dado ao longo da curva especificada:
F(x, y)=x yy+1 i -ln (1y+1) j; C é a circunferência (x-2)^2+(y-2)^2=1;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a Integral de Linha de Fluxo do campo vetorial F(x, y) = x yy+1 , i - ln(1y+1) , j ao longo da curva C , que é a circunferência definida por (x-2)^2 + (y-2)^2 = 1 .
Conteúdo da Matéria: Vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência ou Teorema de Green em duas dimensões) para calcular a integral de linha de fluxo.
O que Precisamos: Precisamos entender como aplicar o Teorema de Gauss para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por C . Também precisamos calcular a divergência do campo vetorial F .

Passo 2

Aplicando o Teorema de Gauss:
O Teorema de Gauss nos permite converter a integral de linha de fluxo ao longo da curva C em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C . A fórmula do teorema é:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD ( partial Fxpartial x + partial Fypartial y ) , dA
Onde:
  • F = Fx , i + Fy , j é o campo vetorial.
  • n é o vetor normal à curva C .
  • ds é um elemento de comprimento ao longo da curva.
  • D é a região interna à curva C .

Passo 3

Calculando a Divergência de F :
A divergência de F é dada por:
div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y
Vamos calcular cada termo separadamente.
  1. Calculando partial Fxpartial x :
Fx = x yy + 1
Derivando em relação a x :
partial Fxpartial x = yy + 1
  1. Calculando partial Fypartial y :
Fy = -ln(1y + 1) = ln(y + 1)
Derivando em relação a y :
partial Fypartial y = 1y + 1
Somando os termos:
div , F = yy + 1 + 1y + 1 = y + 1y + 1 = 1

Passo 4

Configurando a Integral Dupla:
Agora que temos a divergência div , F = 1 , a integral dupla sobre a região D fica:
integral duplaD 1 , dA
Esta integral representa a área da região D .

Passo 5

Calculando a Área da Região D :
A curva C é uma circunferência de raio r = 1 centrada em (2, 2) . A área A de uma circunferência é dada por:
A = pi r^2
Substituindo r = 1 :
A = pi times 1^2 = pi
Portanto, a integral dupla é igual a pi .

Resposta

A Integral de Linha de Fluxo é igual a pi .

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