Em cada caso, use o Teorema de Gauss para calcular a Integral de Linha de Fluxo do Campo Vetorial dado ao longo da curva especificada:
; C é a circunferência
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a Integral de Linha de Fluxo do campo vetorial
ao longo da curva
, que é a circunferência definida por
.
Conteúdo da Matéria: Vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência ou Teorema de Green em duas dimensões) para calcular a integral de linha de fluxo.
O que Precisamos: Precisamos entender como aplicar o Teorema de Gauss para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por
. Também precisamos calcular a divergência do campo vetorial
.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Gauss:
O Teorema de Gauss nos permite converter a integral de linha de fluxo ao longo da curva
em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do teorema é:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é o vetor normal à curva . -
é um elemento de comprimento ao longo da curva. -
é a região interna à curva .
Passo 3
Calculando a Divergência de
:
A divergência de
é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.
- Calculando
:
Derivando em relação a
:
- Calculando
:
Derivando em relação a
:
Somando os termos:
Passo 4
Configurando a Integral Dupla:
Agora que temos a divergência
, a integral dupla sobre a região
fica:
Esta integral representa a área da região
.
Passo 5
Calculando a Área da Região
:
A curva
é uma circunferência de raio
centrada em
. A área
de uma circunferência é dada por:
Substituindo
:
Portanto, a integral dupla é igual a
.
Resposta
A Integral de Linha de Fluxo é igual a
.