Em cada caso, use o Teorema de Gauss para calcular a Integral de Linha de Fluxo do Campo Vetorial dado ao longo da curva especificada:
; C é a elipse
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Integral de Linha de Fluxo do campo vetorial
ao longo da curva
, que é uma elipse definida por
. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Gauss. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma curva fechada
é igual à integral dupla da divergência de
sobre a região
que está dentro de
. Matematicamente, isso é escrito como:
Onde:
-
é o vetor normal à curva . -
é a divergência de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. Se
, então:
No nosso caso:
Vamos derivar cada componente:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, podemos substituir na integral dupla:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
, que é a área da elipse
.
Passo 5
Vamos simplificar a equação da elipse para encontrar seus eixos. Dividindo ambos os lados por 6:
Comparando com a forma padrão da elipse
, temos:
- Centro em
-
então -
então
A área de uma elipse é dada por
. Então:
Passo 6
Substituindo a área na nossa integral:
Resposta
A integral de linha de fluxo do campo vetorial ao longo da curva especificada é
.