Em cada caso, use o Teorema de Gauss para calcular a Integral de Linha de Fluxo do Campo Vetorial dado ao longo da curva especificada:
F(x, y)=(3 x+senh(y^2)) i+(cosh (x^2)+2 y) j; C é a elipse 3(x-2)^2+2(y-2)^2=6;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Integral de Linha de Fluxo do campo vetorial F(x, y) = (3x + senh(y^2)) i + (cosh (x^2) + 2y) j ao longo da curva C , que é uma elipse definida por 3(x-2)^2 + 2(y-2)^2 = 6 . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Gauss. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma curva fechada C é igual à integral dupla da divergência de F sobre a região R que está dentro de C . Matematicamente, isso é escrito como:
ointC F cdot n , ds = integral duplaR (nabla cdot F) , dA
Onde:
  • n é o vetor normal à curva C .
  • nabla cdot F é a divergência de F .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F . Se F = P i + Q j , então:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y
No nosso caso:
  • P = 3x + senh(y^2)
  • Q = cosh(x^2) + 2y
Vamos derivar cada componente:
partial Ppartial x = partialpartial x(3x + senh(y^2)) = 3 + 0 = 3
partial Qpartial y = partialpartial y(cosh(x^2) + 2y) = 0 + 2 = 2
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 3 + 2 = 5

Passo 4

Agora que temos a divergência, podemos substituir na integral dupla:
integral duplaR (nabla cdot F) , dA = integral duplaR 5 , dA = 5 integral duplaR , dA
Isso significa que precisamos calcular a área da região R , que é a área da elipse 3(x-2)^2 + 2(y-2)^2 = 6 .

Passo 5

Vamos simplificar a equação da elipse para encontrar seus eixos. Dividindo ambos os lados por 6:
(x-2)^22 + (y-2)^23 = 1
Comparando com a forma padrão da elipse (x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1 , temos:
  • Centro em (h, k) = (2, 2)
  • a^2 = 2 então a = raiz2
  • b^2 = 3 então b = raiz3
A área de uma elipse é dada por pi a b . Então:
Área = pi times raiz2 times raiz3 = pi raiz6 Á

Passo 6

Substituindo a área na nossa integral:
5 integral duplaR , dA = 5 times pi raiz6

Resposta

A integral de linha de fluxo do campo vetorial ao longo da curva especificada é 5 pi raiz6 .

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