-•23 Um feixe de moléculas de hidrogênio \left(\mathrm{H}_{2}\right) está direcionado para uma parede, fazendo um ângulo de 55^{\circ} com a normal à parede. As moléculas do feixe têm uma velocidade de 1,0 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e uma massa de 3,3 \times 10^{-24} \mathrm{~g}. O feixe atinge a parede em uma área de 2,0 \mathrm{~cm}^{2}, a uma taxa de 10^{23} moléculas por segundo. Qual é a pressão do feixe sobre a parede?
-•24 A 273 K e 1,00 \times 10^{-2} \mathrm{~atm}, a massa específica de um gás é 1,24 \times 10^{-5} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. (a) Determine v_{\mathrm{rms}} para as moléculas do gás. (b) Determine a massa molar do gás e (c) identifique o gás. (Sugestão: O gás aparece na Tabela 19-1.)

Passo 1

O enunciado 23 apresenta um feixe de moléculas de hidrogênio \mathrm{H}_2, cada uma com massa m=3,3\times10^{-24}\,\mathrm{g} ( 3,3\times10^{-27}\,\mathrm{kg}), velocidade v=1{,}0\times10^3\,\mathrm{m/s} e direção fazendo \theta=55^\circ com a normal da parede. O feixe atinge uma área A=2{,}0\,\mathrm{cm^2} ( 2{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}) à razão de 10^{23} moléculas por segundo. Queremos a pressão exercida pelo feixe, usando teoria cinética (impulso, força e pressão).

Passo 2

Para calcular a componente perpendicular da velocidade, projetamos v na direção da normal:
v_\perp = v\cos\theta = (1{,}0\times10^3)\cos(55^\circ)\approx1{,}0\times10^3\times0{,}5736 =5,736\times10^2\,\mathrm{m/s}.
Em colisão perfeitamente elástica, cada molécula troca impulso \Delta p = 2\,m\,v_\perp. Em unidades SI:
\Delta p = 2\,(3,3\times10^{-27}\,\mathrm{kg})\,(5,736\times10^2\,\mathrm{m/s}) \approx3,786\times10^{-24}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 3

A força média sobre a parede é o impulso por colisão vezes a taxa de colisões:
F = \Delta p \times(\text{taxa}) = (3,786\times10^{-24})\times(1{,}0\times10^{23}\,\mathrm{s^{-1}}) \approx3,786\times10^{-1}\,\mathrm{N}.
A pressão é P=F/A. Então
P = \frac{3,786\times10^{-1}\,\mathrm{N}}{2,0\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}} \approx1,89\times10^{3}\,\mathrm{Pa}.

Passo 4

O enunciado 24 dá um gás num recipiente a T=273\,\mathrm{K} e P=1{,}00\times10^{-2}\,\mathrm{atm} ( 1,01325\times10^{3}\,\mathrm{Pa}) com massa específica \rho=1,24\times10^{-5}\,\mathrm{g/cm^3} ( 1,24\times10^{-2}\,\mathrm{kg/m^3}). Pede-se: (a) a velocidade quadrática média v_{\mathrm{rms}}, (b) a massa molar M e (c) a identidade do gás. Usaremos a equação de estado P=\rho\,R\,T/M e a relação cinética v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3RT/M}.

Passo 5

Da equação de estado e da definição de v_{\mathrm{rms}} obtemos diretamente
v_{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{3RT}{M}} \quad\text{e}\quad P = \frac{\rho\,R\,T}{M} \;\Rightarrow\; \frac{RT}{M} = \frac{P}{\rho} \;\Rightarrow\; v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}.
Substituindo P=1,01325\times10^3\,\mathrm{Pa} e \rho=1,24\times10^{-2}\,\mathrm{kg/m^3}:
v_{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{3\times1,01325\times10^3}{1,24\times10^{-2}}} \approx4,9\times10^2\,\mathrm{m/s}.
Para achar M, usamos M=\rho\,R\,T/P. Com R=8,314\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}:
M =\frac{(1,24\times10^{-2})(8,314)(273)}{1,01325\times10^3} \approx2,815\times10^{-2}\,\mathrm{kg/mol} =28,15\,\mathrm{g/mol}.

Passo 6

Comparando M\approx28,2\,\mathrm{g/mol} com tabelas de gases, o valor corresponde ao diazoto \mathrm{N_2}.

Resposta

(a) v_{\mathrm{rms}} \approx 4,9 \times 10^{2} \, \mathrm{m/s}.\n(b) M \approx 28,2 \, \mathrm{g/mol}.\n(c) O gás é o nitrogênio, \mathrm{N}_{2}.

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