Uma partícula de massa m se move sob ação de um potencial atrativo V=-C / r, onde C é uma constante positiva. Calcule (a) o ponto de mínimo r_{0}, (b) o potencial V\left(r_{0}\right)=V_{0}, (c) a frequência angular \omega, (d) o período \mathrm{Te}(\mathrm{e}) a frequência f.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m está sob o potencial atrativo central
V(r)=-\frac{C}{r},
com C>0. Como o problema pede o ponto de mínimo e as oscilações em torno dele, vamos usar o conceito de potencial efetivo para o movimento radial de uma partícula com momento angular constante L. Precisaremos de:
1. construir o potencial efetivo
2. achar o raio r_0 que anula a derivada do potencial efetivo
3. avaliar o valor do potencial efetivo em r_0 4. obter a frequência de pequenas oscilações via expansão em torno de r_0 5. relacionar essa frequência a período e frequência linear.

Passo 2

O potencial efetivo para coordenada radial r é
V_{\rm eff}(r)=-\frac{C}{r}+\frac{L^2}{2\,m\,r^2}.
Para encontrar o ponto de equilíbrio estável, impomos
\frac{dV_{\rm eff}}{dr} =\frac{C}{r^2}-\frac{L^2}{m\,r^3}=0.
Multiplicando por r^3 resulta
C\,r - \frac{L^2}{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad r_0=\frac{L^2}{m\,C}.

Passo 3

Avaliamo-os o valor do potencial efetivo em r_0. Substituindo em
V_{\rm eff}(r) =-\frac{C}{r}+\frac{L^2}{2m\,r^2}
obtemos
V_0\equiv V_{\rm eff}(r_0) =-\frac{C}{r_0}+\frac{L^2}{2m\,r_0^2} =-\frac{m\,C^2}{L^2}+\frac{m\,C^2}{2\,L^2} =-\frac{m\,C^2}{2\,L^2}.

Passo 4

Para as pequenas oscilações radiais em torno de r_0, usamos
\omega =\sqrt{\frac{1}{m}\left.\frac{d^2V_{\rm eff}}{dr^2}\right|_{r_0}}.
Calculando a segunda derivada,
\frac{d^2V_{\rm eff}}{dr^2} =-2\,\frac{C}{r^3}+3\,\frac{L^2}{m\,r^4},
e avaliando em r_0 (usando L^2/(m)=C\,r_0) dá
\left.\frac{d^2V_{\rm eff}}{dr^2}\right|_{r_0} =\frac{C}{r_0^3}.
Logo
\omega =\sqrt{\frac{C}{m\,r_0^3}} =\sqrt{\frac{C}{m}\,\frac{m^3\,C^3}{L^6}} =\frac{m\,C^2}{L^3}.

Passo 5

O período das oscilações é
T_e=\frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi\,L^3}{m\,C^2},
e a frequência linear
f=\frac{1}{T_e} =\frac{\omega}{2\pi} =\frac{m\,C^2}{2\pi\,L^3}.

Resposta

r_0=\dfrac{L^2}{m\,C} V_0=V_{\rm eff}(r_0)=-\dfrac{m\,C^2}{2\,L^2} \omega=\dfrac{m\,C^2}{L^3} T_e=\dfrac{2\pi\,L^3}{m\,C^2} f=\dfrac{m\,C^2}{2\pi\,L^3}

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