23 Mostre que uma matriz diagonal A é positiva (definida positiva) se, e somente se, cada elemento da diagonal é um número real não negativo (positivo).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma matriz diagonal A é positiva semidefinida (isto é, xᵀAx ≥ 0 para todo x) exatamente quando cada entrada da diagonal é real e não negativa, e é definida positiva (xᵀAx > 0 para todo x ≠ 0) exatamente quando cada entrada da diagonal é real e estritamente positiva. O conteúdo é definição de matrizes positivas e uso de formas quadráticas.

Passo 2

Vamos escrever A = diag(a₁, a₂, …, aₙ), com aᵢ ∈ ℝ, já que A é diagonal. Para decidir positividade, usamos a definição via forma quadrática: uma matriz é semidefinida positiva se para todo vetor x em ℝⁿ tivermos xᵀAx ≥ 0, e definida positiva se xᵀAx > 0 sempre que x ≠ 0.

Passo 3

Calculamos a forma quadrática de A: dado x = (x₁, x₂, …, xₙ)ᵀ, temos
[
x^T A x = (x_1,\dots,x_n) a1 & & & ddots & & & an x1 vdots xn = \sum_{i=1}^n a_i x_i^2.

Passo 4

(⇒) Suponha que A seja semidefinida positiva. Então para todo índice i, pegue x = e_i (vetor canônico com 1 na i-ésima posição e 0 nas outras). Aí
ei^T A ei = ai cdot 1^2 = ai >= 0
Para definida positiva, repita o mesmo raciocínio e observe que para x = e_i ≠ 0 temos e_i^T A e_i = a_i > 0, logo cada a_i > 0.

Passo 5

(⇐) Agora suponha que cada a_i ≥ 0. Então para qualquer x,
x^T A x = sumi=1^n ai xi^2 >= 0,
o que mostra que A é semidefinida positiva. Se cada a_i > 0, então para x ≠ 0 existe algum x_j ≠ 0 e assim
x^T A x = sumi=1^n ai xi^2 >= aj xj^2 > 0,
mostrando que A é definida positiva.

Resposta

Uma matriz diagonal A = diag(a₁,…,aₙ) é semidefinida positiva ⇔ todos os aᵢ ≥ 0, e é definida positiva ⇔ todos os aᵢ > 0.

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