Para cada uma das matrizes
dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal
para a qual
seja diagonal.
Passo 1
Temos a matriz simétrica
. O conteúdo aqui é diagonalização ortogonal de matrizes simétricas: para isso, precisamos achar autovalores e autovetores de
, depois normalizar esses autovetores e formar uma matriz ortogonal
cujas colunas são esses vetores normalizados.
Passo 2
Para calcular os autovalores, montamos o polinômio característico
. Temos
Expandindo,
cuja solução é
ou
.
Passo 3
Para
, resolvemos
, ou
que gera a relação
, i.e.
. Um autovetor é
.
Passo 4
Para
, fazemos
, ou
que dá
, i.e.
. Um autovetor é
.
Passo 5
Agora normalizamos os autovetores para obter uma base ortonormal. O vetor
tem norma
, então normalizado fica
. Similarmente,
normalizado é
. Formamos a matriz ortogonal
cujas colunas são esses vetores.
Definindo
Definindo
verifica-se que
, ou seja, está diagonalizada por uma mudança de base ortonormal.
Resposta
Uma escolha conveniente é
pois