Para cada uma das matrizes A dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal P para a qual P^t A P seja diagonal.
ll1 & 2 2 & 1

Passo 1

Temos a matriz simétrica A=1 & 22 & 1. O conteúdo aqui é diagonalização ortogonal de matrizes simétricas: para isso, precisamos achar autovalores e autovetores de A, depois normalizar esses autovetores e formar uma matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores normalizados.

Passo 2

Para calcular os autovalores, montamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Temos
detl(1-lambda & 22 & 1-lambdar)=(1-lambda)^2-4=0
Expandindo,
(1-lambda)^2-4=lambda^2-2lambda-3=0,
cuja solução é lambda=3 ou lambda=-1.

Passo 3

Para lambda=3, resolvemos (A-3I)x=0, ou
-2 & 22 & -2x1x2=0
que gera a relação -2x1+2x2=0, i.e. x1=x2. Um autovetor é (1,1)^T.

Passo 4

Para lambda=-1, fazemos (A+I)x=0, ou
2 & 22 & 2x1x2=0
que dá 2x1+2x2=0, i.e. x1=-x2. Um autovetor é (1,-1)^T.

Passo 5

Agora normalizamos os autovetores para obter uma base ortonormal. O vetor (1,1) tem norma raiz1^2+1^2=raiz2, então normalizado fica tfrac1raiz2(1,1). Similarmente, (1,-1) normalizado é tfrac1raiz2(1,-1). Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores.
Definindo
P=1/raiz2 & 1/raiz21/raiz2 & -1/raiz2,
verifica-se que P^TAP=diag(3,-1), ou seja, está diagonalizada por uma mudança de base ortonormal.

Resposta

Uma escolha conveniente é
P=1/raiz2 & 1/raiz21/raiz2 & -1/raiz2,
pois
P^TAP=3 & 00 & -1

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