24 Para qualquer operador T, mostre que T+T^* é auto-adjunto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um operador linear qualquer T em um espaço com produto interno, a soma T + T^* é auto-adjunta. Ou seja, queremos provar que
(T + T^*) = (T + T^*)^*
Para isso, vamos usar as propriedades fundamentais dos operadores adjuntos.

Passo 2

Antes de tudo, lembre-se das duas propriedades essenciais dos adjuntos: para quaisquer operadores A e B), vale
(A + B)^* = A^* + B^*,
e
(A^*)^* = A
Essas relações vêm diretamente da definição do adjunto em espaços com produto interno.

Passo 3

Agora aplicamos a primeira propriedade ao nosso caso:
(T + T^*)^* = T^* + (T^*)^*
Em seguida usamos a segunda propriedade, que diz que o adjunto do adjunto de T é o próprio T:
T^* + (T^*)^* = T^* + T

Passo 4

Como a soma de operadores é comutativa, temos
T^* + T = T + T^*
Logo
(T + T^*)^* = T + T^*
e isso é exatamente a definição de operador auto-adjunto. Portanto, T + T^* é auto-adjunto.

Resposta

Como demonstrado, (T + T^*)^* = T + T^*, logo T + T^* é auto-adjunto.

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