24 Para qualquer operador
, mostre que
é auto-adjunto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um operador linear qualquer
em um espaço com produto interno, a soma
é auto-adjunta. Ou seja, queremos provar que
Para isso, vamos usar as propriedades fundamentais dos operadores adjuntos.
Passo 2
Antes de tudo, lembre-se das duas propriedades essenciais dos adjuntos: para quaisquer operadores
e
, vale
e
Essas relações vêm diretamente da definição do adjunto em espaços com produto interno.
Passo 3
Agora aplicamos a primeira propriedade ao nosso caso:
Em seguida usamos a segunda propriedade, que diz que o adjunto do adjunto de
é o próprio
:
Passo 4
Como a soma de operadores é comutativa, temos
Logo
e isso é exatamente a definição de operador auto-adjunto. Portanto,
é auto-adjunto.
Resposta
Como demonstrado,
, logo
é auto-adjunto.