23^a Questão Um circuito RC tem uma resistência Re uma capacitância C. Uma força eletromotriz é impressa no circuito, sendo E=E0 sen(omega t). Não há corrente quando o circuito é ligado. A lei de Kirchoff diz que a força eletromotriz é igual à queda de voltagem através do circuito,
R i+qC=E0 sen(omega t)
Onde o 1^circ termo é a queda de voltagem através da resistência e o 2^circ termo é a queda de voltagem através do capacitor. A carga q do capacitor é relacionada com a corrente segundo
i=d qd t
O objetivo é obter uma expressão para a corrente em função do tempo, i(t). Para isso, substitua (2) em (1) e resolva a equação resultante, obtendo q(t). Uma vez feito isso, use a eq. (2) para obter o resultado esperado.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RC alimentado por
E(t)=E0sin(omega t)
com resistência R e capacitância C. Ao ligar o circuito não há corrente inicial. Usamos a lei de Kirchhoff
R,i+qC=E0sin(omega t)
e a relação
i=dqdt
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem e iremos usar o método do fator integrante para obter q(t) e depois i(t).

Passo 2

Escrevemos a equação para q(t). Substituindo i=dq/dt em
Rdqdt+qC=E0sin(omega t)
e dividindo por R vem
dqdt+1RC,q=E0Rsin(omega t)

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral1RC,dtr)=e^t/(RC)
Multiplicando a equação por mu(t) fica
ddtl(q,e^t/(RC)r) =E0R,e^t/(RC)sin(omega t)
Integramos ambos os lados usando
integral e^alpha tsin(omega t),dt =e^alpha talpha^2+omega^2 l(alphasin(omega t)-omegacos(omega t)r),
com alpha=1/(RC).

Passo 4

Após a integração obtemos
q,e^t/(RC) =E0R(alpha^2+omega^2) ,e^t/(RC)l(alphasin(omega t)-omegacos(omega t)r)+K
Dividindo por e^t/(RC)
q(t) =E0R(alpha^2+omega^2) l(alphasin(omega t)-omegacos(omega t)r) +K,e^-t/(RC)
Como q(0)=0 e sin0=0, cos0=1, encontra-se
0=-E0,omegaR(alpha^2+omega^2)+K Longrightarrow K=E0,omegaR(alpha^2+omega^2)
Logo
q(t) =E0R(alpha^2+omega^2) l[alphasin(omega t)-omegacos(omega t)+omega,e^-t/(RC)r],
com alpha=1/(RC).

Passo 5

A corrente é i=dqdt. Derivando term-a-term e simplificando com alpha=1RC e alpha^2+omega^2=1+(omega RC)^2R^2C^2, obtemos
i(t) =E0,omega^2R C^21+omega^2R^2C^2sin(omega t) +E0,omega R C1+omega^2R^2C^2cos(omega t) -E0,omega R C1+omega^2R^2C^2,e^-t/(RC)

Resposta

boxed i(t) =E0,omega^2R C^21+omega^2R^2C^2, sin(omega t) +E0,omega R C1+omega^2R^2C^2, cos(omega t) -E0,omega R C1+omega^2R^2C^2, e^-t/(RC)

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