Questão Um circuito RC tem uma resistência Re uma capacitância C. Uma força eletromotriz é impressa no circuito, sendo E=E0 sen(omega t). Não há corrente quando o circuito é ligado. A lei de Kirchoff diz que a força eletromotriz é igual à queda de voltagem através do circuito,
R i+qC=E0 sen(omega t)
Onde o 1^circ termo é a queda de voltagem através da resistência e o 2^circ termo é a queda de voltagem através do capacitor. A carga q do capacitor é relacionada com a corrente segundo
i=d qd t
O objetivo é obter uma expressão para a corrente em função do tempo, i(t). Para isso, substitua (2) em (1) e resolva a equação resultante, obtendo q(t). Uma vez feito isso, use a eq. (2) para obter o resultado esperado.
Passo 1
O enunciado descreve um circuito RC alimentado por
E(t)=E0sin(omega t)
com resistência R e capacitância C. Ao ligar o circuito não há corrente inicial. Usamos a lei de Kirchhoff
R,i+qC=E0sin(omega t)
e a relação
i=dqdt
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem e iremos usar o método do fator integrante para obter q(t) e depois i(t).
Passo 2
Escrevemos a equação para q(t). Substituindo i=dq/dt em
Rdqdt+qC=E0sin(omega t)
e dividindo por R vem
dqdt+1RC,q=E0Rsin(omega t)
Passo 3
O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral1RC,dtr)=e^t/(RC)
Multiplicando a equação por mu(t) fica
ddtl(q,e^t/(RC)r) =E0R,e^t/(RC)sin(omega t)
Integramos ambos os lados usando
integral e^alpha tsin(omega t),dt =e^alpha talpha^2+omega^2 l(alphasin(omega t)-omegacos(omega t)r),