Esboce o gráfico de cada uma das funções.
f(t)=t^5-6

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(t)=t^5-6.
O conteúdo aqui é o estudo de funções polinomiais de grau ímpar e suas transformações, em particular translação vertical. Para resolver, precisamos conhecer a forma básica de phi(t)=t^5 e depois aplicar o deslocamento para baixo de 6 unidades.

Passo 2

A função
phi(t)=t^5
é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo. Portanto:
phi(t)to-infty quando tto-infty e
phi(t)to+infty quando tto+infty.
Além disso, phi é estritamente crescente em todo R e possui ponto de inflexão em t=0.

Passo 3

A função
f(t)=t^5-6
é obtida a partir de phi(t)=t^5 por uma translação vertical de 6 unidades para baixo, pois subtrai-se 6 do valor de phi(t).

Passo 4

Para orientar o esboço, calculemos alguns pontos-chave:
f(0)=0^5-6=-6,
f(1)=1^5-6=-5,
f(-1)=(-1)^5-6=-1-6=-7
A derivada
f'(t)=5t^4
é sempre não negativa e vale zero somente em t=0, indicando que a tangente em (0,-6) é horizontal mas a função continua estritamente crescente.

Passo 5

A segunda derivada
f''(t)=20t^3
é negativa para t<0 (concavidade voltada para baixo) e positiva para t>0 (concavidade voltada para cima), confirmando ponto de inflexão em (0,-6).

Resposta

O esboço de f(t)=t^5-6 é uma curva estritamente crescente que vai de -infty (quando tto-infty) a +infty (quando tto+infty), passa por (0,-6) com tangente horizontal, apresenta concavidade para baixo à esquerda de t=0 e para cima à direita, e corresponde ao gráfico de t^5 deslocado 6 unidades para baixo.

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