25 Questão: Resolva e discuta a equação da logística dada por
l d yd t=alpha(A-y) y y(0)=a0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de crescimento logístico
dydt = alpha,(A - y),y, y(0)=a0,
onde alpha>0 e A>0 são constantes. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e frações parciais. Depois, discutiremos os equilíbrios e o comportamento assintótico de y(t).

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy,(A - y) = alpha,dt
Isso permite integrar os dois lados em função de y e t.

Passo 3

Para integrar integral dyy,(A - y), usamos frações parciais:
1y(A-y) = 1Al(1y + 1A-yr)
Logo,
integral dyy(A-y) = 1Aintegrall(1y + 1A-yr)dy = 1Al(ln|y| - ln|A-y|r) + C
Do outro lado,
integral alpha,dt = alpha,t + C'
Igualando e absorvendo constantes, obtemos
lnyA-y = alpha A,t + C1

Passo 4

Exponenciando,
yA-y = C,e^alpha A t,
onde C=e^C1. Isolando y,
y(t) = A,C,e^alpha A t1 + C,e^alpha A t
Para t=0 temos y(0)=a0, então
a0A - a0 = C ;Longrightarrow; C = a0A - a0
Substituindo em y(t),
y(t) = A1 + l(A - a0a0r)e^-alpha A t = A1 + l(Aa0 - 1r)e^-alpha A t

Passo 5

Os equilíbrios são y=0 e y=A. Para alpha>0:
  • Se 0<a0<A, y(t) cresce monotonamente de a0 até A.
  • Se a0>A, y(t) decresce para A.
  • Se a0=0 ou a0=A, mantém-se nesses valores.
    Além disso, limttoinftyy(t)=A, mostrando que y=A é estável, enquanto y=0 é instável. A taxa máxima de crescimento ocorre em y=A/2.

Resposta

y(t) = A1 + l(Aa0 - 1r)e^-alpha A t,
com equilíbrio estável em y=A e instável em y=0, e convergência de y(t) para A quando ttoinfty.

Exercícios relacionados