25 Questão: Resolva e discuta a equação da logística dada por
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de crescimento logístico
onde
e
são constantes. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e frações parciais. Depois, discutiremos os equilíbrios e o comportamento assintótico de
.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
Isso permite integrar os dois lados em função de
e
.
Passo 3
Para integrar
, usamos frações parciais:
Logo,
Do outro lado,
Igualando e absorvendo constantes, obtemos
Passo 4
Exponenciando,
onde
. Isolando
,
Para
temos
, então
Substituindo em
,
Passo 5
Os equilíbrios são
e
. Para
:
- Se
, cresce monotonamente de até . - Se
, decresce para . - Se
ou , mantém-se nesses valores.
Além disso,, mostrando que é estável, enquanto é instável. A taxa máxima de crescimento ocorre em .
Resposta
com equilíbrio estável em
e instável em
, e convergência de
para
quando
.