1.26 Seja A=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 4]. Encontre a inversa A^-1=[lllx1 & x2 & x3 y1 & y2 & y3 z1 & z2 & z3].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 4 ,
ou seja, A^-1. Vamos usar o método de Gauss–Jordan: formamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações elementares de linha para transformar o bloco esquerdo em I. O bloco direito resultante será A^-1.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e zeramos o elemento na posição (3,1) usando R3 >=ts R3 - R1.
[ccc|ccc 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrow,R3 - R1,; [ccc|ccc 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora o pivô da segunda coluna é o 1 em posição (2,2). Para zerar as entradas acima e abaixo dele fazemos
R3 >=ts R3 - R2, R1 >=ts R1 - R2
Isso leva a
[ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 ]

Passo 4

Por fim, o pivô da terceira coluna é o 1 em (3,3). Zeramos as entradas acima:
R1 >=ts R1 + R3, R2 >=ts R2 - 2,R3,
obtendo
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 0 & 1 & 0 & 2 & 3 & -2 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 ]
Como o bloco esquerdo já é a identidade, o bloco direito é exatamente A^-1.

Resposta

A^-1 = 0 & -2 & 1 2 & 3 & -2 -1 & -1 & 1 ,
isto é,
x1=0,;x2=-2,;x3=1,; y1=2,;y2=3,;y3=-2,; z1=-1,;z2=-1,;z3=1

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