23-) Um sistema termodinâmico simples particular, que tem N mols de uma determinada substância, obedece a segunte equação fundamental, onde as grandezas são expressas por mol
u=\frac{A}{v^{2}} e^{\frac{s}{R}}
Inicialmente o sistema está num estado a uma temperatura T_{0} e a uma pressão P_{0}. Depois ele é expandido de forma isentrópica ( \mathrm{s}= constante) até uma pressão P_{f}=\frac{P_{0}}{2}. Qual é sua temperatura final T_{f} ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Foi dada a equação fundamental por mol:
u=\frac{A}{v^{2}} e^{\frac{s}{R}},
onde u é energia interna por mol, v é volume molar, s é entropia molar, R é a constante dos gases e A é uma constante (tudo por mol).
Estado inicial: temperatura T_0 e pressão P_0.
O sistema é expandido de forma isentrópica (s= constante) até uma pressão final
P_f=\frac{P_0}{2}.
Pergunta: qual é a temperatura final T_f?
Passo 2
Relembrando a identidade termodinâmica (para uma substância simples, por mol): a diferencial da energia interna escrita como função de s e v é
du = T\,ds - P\,dv.
Explicando devagar: isso significa que a variação infinitesimal de u quando variam s e v pode ser decomposta em duas partes — uma associada à mudança de entropia (multiplicada pela temperatura T) e outra associada à mudança de volume (multiplicada por -P). Dessa relação seguem as identidades que vamos usar:
Ou seja: a temperatura é a derivada parcial de u em relação a s mantendo v fixo; a pressão é menos a derivada parcial de u em relação a v mantendo s fixo. Vou aplicar essas fórmulas à função dada.
Passo 3
Calcular T a partir de u (derivada em relação a s com v fixo).
A função é u = A v^{-2} e^{s/R}. Derivando em relação a s:
Usar que o processo é isentrópico (s constante). Então o fator A e^{s/R} é o mesmo nos estados inicial e final, e podemos relacionar P, v e T entre si.