23-) Um sistema termodinâmico simples particular, que tem N mols de uma determinada substância, obedece a segunte equação fundamental, onde as grandezas são expressas por mol
u=\frac{A}{v^{2}} e^{\frac{s}{R}}
Inicialmente o sistema está num estado a uma temperatura T_{0} e a uma pressão P_{0}. Depois ele é expandido de forma isentrópica ( \mathrm{s}= constante) até uma pressão P_{f}=\frac{P_{0}}{2}. Qual é sua temperatura final T_{f} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a equação fundamental por mol:
u=\frac{A}{v^{2}} e^{\frac{s}{R}},
onde u é energia interna por mol, v é volume molar, s é entropia molar, R é a constante dos gases e A é uma constante (tudo por mol).
  • Estado inicial: temperatura T_0 e pressão P_0.
  • O sistema é expandido de forma isentrópica ( s= constante) até uma pressão final
P_f=\frac{P_0}{2}.
  • Pergunta: qual é a temperatura final T_f?

Passo 2

Relembrando a identidade termodinâmica (para uma substância simples, por mol): a diferencial da energia interna escrita como função de s e v é
du = T\,ds - P\,dv.
Explicando devagar: isso significa que a variação infinitesimal de u quando variam s e v pode ser decomposta em duas partes — uma associada à mudança de entropia (multiplicada pela temperatura T) e outra associada à mudança de volume (multiplicada por -P). Dessa relação seguem as identidades que vamos usar:
T=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{v}, \qquad P=-\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}.
Ou seja: a temperatura é a derivada parcial de u em relação a s mantendo v fixo; a pressão é menos a derivada parcial de u em relação a v mantendo s fixo. Vou aplicar essas fórmulas à função dada.

Passo 3

Calcular T a partir de u (derivada em relação a s com v fixo).
A função é u = A v^{-2} e^{s/R}. Derivando em relação a s:
\frac{\partial u}{\partial s}\Big|_{v} = A v^{-2} \cdot \frac{1}{R} e^{s/R} = \frac{A}{R v^{2}} e^{\frac{s}{R}}.
Portanto
T=\frac{A}{R v^{2}} e^{\frac{s}{R}}.
Interpretação rápida: para s fixo, T varia como v^{-2}.

Passo 4

Calcular P a partir de u (derivada em relação a v com s fixo).
Derivando u = A e^{s/R} v^{-2} em relação a v:
\frac{\partial u}{\partial v}\Big|_{s} = A e^{s/R}\cdot (-2) v^{-3} = -\frac{2A}{v^{3}} e^{\frac{s}{R}}.
Usando P=-\partial u/\partial v obtemos
P = \frac{2A}{v^{3}} e^{\frac{s}{R}}.
Observação: para s fixo, P varia como v^{-3}.

Passo 5

Usar que o processo é isentrópico ( s constante). Então o fator A e^{s/R} é o mesmo nos estados inicial e final, e podemos relacionar P, v e T entre si.
Das expressões obtidas:
T=\frac{A}{R v^{2}} e^{\frac{s}{R}}, \qquad P=\frac{2A}{v^{3}} e^{\frac{s}{R}}.
Podemos ver imediatamente as proporções (mantendo s fixo):
T\propto \frac{1}{v^{2}},\qquad P\propto \frac{1}{v^{3}}.

Passo 6

Determinar a razão entre volumes inicial v_0 e final v_f usando as pressões.
Como P\propto v^{-3}, vale
\frac{P_0}{P_f}=\left(\frac{v_f}{v_0}\right)^{3}.
Dado P_f=\dfrac{P_0}{2}, temos P_0/P_f=2. Então
\left(\frac{v_f}{v_0}\right)^{3}=2 \quad\Rightarrow\quad \frac{v_f}{v_0}=2^{1/3}.

Passo 7

Determinar a razão entre temperaturas usando T\propto v^{-2}.
\frac{T_f}{T_0}=\left(\frac{v_0}{v_f}\right)^{2}=\left(2^{-1/3}\right)^{2}=2^{-2/3}.
Portanto
T_f = T_0\,2^{-2/3}.
Como checagem alternativa rápida: combinando as expressões de T e P (ambas com o mesmo fator A e^{s/R}) obtém-se
A e^{s/R}=\frac{P v^{3}}{2},
substituindo em T=\dfrac{A e^{s/R}}{R v^{2}}
T=\frac{P v}{2R}.
Usando isso para os estados inicial e final e fazendo a razão confirma-se que T_f/T_0=2^{-2/3} (mesmo resultado).

Resposta

T_f = T_0\,2^{-2/3}

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