6.23 Para um sólido, cuja equação de estado é dada pela Eq. (6-55), e para o qual c_{P} e c_{v} são independentes de T, mostre que a energia interna específica e a entalpia específica são dadas por

Passo 1

O enunciado pede: para um sólido cuja equação de estado é dada pela Eq. (6-55), e para o qual c_{P} e c_{v} são independentes de T, mostrar as fórmulas da energia interna específica e da entalpia específica. As informações fornecidas no enunciado que eu tenho são apenas: (i) existe uma “Eq. (6-55)” que representa a equação de estado do sólido e (ii) c_{P} e c_{v} são constantes (independentes de T). O enunciado NÃO trouxe o texto ou a forma matemática da Eq. (6-55).
Observação importante: a Eq. (6-55) é necessária para calcular derivadas parciais como (\partial p/\partial T)_{v} ou (\partial v/\partial T)_{p} que aparecem nas relações termodinâmicas. Sem conhecer a forma explícita da Eq. (6-55) não é possível obter expressões fechadas (numéricas/finais) para u e h. Portanto, com os dados que recebi não dá para finalizar a demonstração numérica/fechada pedida.

Passo 2

Vou explicar passo a passo quais fórmulas gerais da termodinâmica usamos e por que a Eq. (6-55) é imprescindível — assim você aprende o método que deve aplicar assim que tiver a Eq. (6-55).
  1. Começamos pelas primeiras e fundamentais relações termodinâmicas para variação infinitesimal de energia interna específica u e entalpia específica h:
du = T\,ds - p\,dv
dh = T\,ds + v\,dp
aqui T é a temperatura, s entropia específica, p pressão, v volume específico. Essas são relações de estado fundamentais (primeira e segunda leis combinadas em forma diferencial).
  1. Relacionamos as variações de entropia com capacidades térmicas. Para qualquer substância:
\left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_v = \dfrac{c_v}{T} \qquad\text{e}\qquad \left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_p = \dfrac{c_p}{T},
onde c_v e c_p são as capacidades térmicas específicas a volume e a pressão constantes, respectivamente. No enunciado eles são dados como independentes de T (constantes), o que facilita integrações posteriores.
  1. Usando essas identidades e manipulações de diferenciais parciais obtém-se fórmulas úteis (que você verá frequentemente em provas):
du = c_v\,dT + \bigg[T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v - p\bigg] dv.
Explicando: começamos com du = T\,ds - p\,dv. Substituímos ds = \left(\dfrac{c_v}{T}\right)dT + \left(\dfrac{\partial s}{\partial v}\right)_T dv. Depois usamos uma relação de Maxwell para transformar \left(\dfrac{\partial s}{\partial v}\right)_T em \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v. O resultado é a expressão acima, que mostra que a variação de u tem uma parte c_v dT (dependência direta com T) mais uma parte que envolve dv e a derivada (\partial p/\partial T)_v.
Analogamente, para h obtemos:
dh = c_p\,dT + \bigg[v - T\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p\bigg] dp.
Aqui o termo adicional é a correção que depende de dp e de (\partial v/\partial T)_p.
  1. Por que a Eq. (6-55) é necessária?
  • Para usar as fórmulas acima e integrar du e dh para obter expressões explícitas de u(T,p) e h(T,p) precisamos conhecer as derivadas \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v e \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p.
  • Essas derivadas são exatamente as que se obtêm a partir da equação de estado do sólido — que o enunciado chama de Eq. (6-55). Sem saber a forma dessa equação (por exemplo, se ela é linearizada, se relaciona v, T e p de uma forma particular, etc.) não temos como calcular as derivadas e, portanto, não podemos integrar as expressões gerais acima para obter uma expressão fechada de u e h.

Passo 3

Vou mostrar como o procedimento segue assim que a Eq. (6-55) for conhecida — isto é, o “modo de fazer” que você deve aplicar na prova. Vou manter tudo simbólico (sem assumir a forma da Eq. (6-55)), para você ver cada passo e entender o que será necessário substituir.
  1. Partindo de
du = c_v\,dT + \bigg[T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v - p\bigg] dv,
escrevemos dv em termos de dT e dp usando a equação de estado:
dv = \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p dT + \left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T dp.
Note o significado de cada derivada parcial: \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p é quanto o volume específico muda quando T varia mantendo p fixo; \left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T é quanto o volume muda quando p varia mantendo T fixo. Ambas saem diretamente da Eq. (6-55).
  1. Substituindo dv em du:
du = c_v\,dT + \Big[T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v - p\Big]\Bigg[\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p dT + \left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T dp\Bigg].
Agora separamos os termos multiplicando:
du = \Bigg[c_v + \Big(T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v - p\Big)\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p\Bigg] dT \;+\; \Bigg[\Big(T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v - p\Big)\left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T\Bigg] dp.
Isto expressa du como combinação linear de dT e dp. Para obter u(T,p) você integra essa expressão entre um estado de referência (T_0,p_0) e o estado (T,p). Como u é função de estado, o resultado da integral será independente do caminho, mas para executar a integração precisa-se das expressões das derivadas parciais que são fornecidas pela Eq. (6-55).
  1. Para a entalpia, a mesma receita: partir de
dh = c_p\,dT + \bigg[v - T\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p\bigg] dp,
aqui o coeficiente de dp envolve \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p, que sai diretamente da Eq. (6-55). Para obter h(T,p) integra-se entre (T_0,p_0) e (T,p):
h(T,p) = h(T_0,p_0) + \int_{T_0}^{T} c_p\,dT + \int_{p_0}^{p} \Big[v(T,p') - T\big(\tfrac{\partial v}{\partial T}\big)_p\Big]_{T\\ \text{fix}} dp'.
Novamente, sem conhecer a dependência v(T,p) (Eq. (6-55)) não é possível calcular essas integrais em forma fechada.

Passo 4

Resumo didático do que você precisa fazer na prova (passo a passo rápido, estilo “faça isso”):
  1. Pegue a Eq. (6-55) e calcule \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p e \left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T. Se for mais fácil, calcule também \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v usando a identidade
\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v = -\dfrac{\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p}{\left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T}.
  1. Substitua essas derivadas nas expressões gerais:
du = c_v\,dT + \bigg[T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v - p\bigg] dv
(com dv expresso via dT e dp), ou use a forma já desenvolvida em termos de dT e dp se preferir.
3. Integre entre o estado de referência e o estado final; como c_v e c_p são constantes a integral de c_v\,dT ou c_p\,dT é imediata ( c_v(T-T_0), c_p(T-T_0)). As outras integrais vão resultar em termos que dependem da forma da Eq. (6-55).
4. Escreva u(T,p) e h(T,p). Somente após substituir explicitamente a Eq. (6-55) as expressões finais numéricas/fechadas aparecem.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (opcional para fixar a ideia): se a Eq. (6-55) fosse a forma linearizada frequentemente usada para líquidos/solos:
v = v_0\big[1 + \beta (T - T_0) - \kappa_T (p - p_0)\big],
onde \beta é coeficiente volumétrico de dilatação e \kappa_T é compressibilidade isotérmica (constantes), então você calcularia
\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p = v_0 \beta, \qquad \left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T = -v_0 \kappa_T,
e
\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v = \dfrac{\beta}{\kappa_T}.
Substituindo essas quantidades nas fórmulas gerais apresentadas nos passos anteriores e integrando, você obteria expressões explícitas para u e h em termos de T, p, v_0, \beta, \kappa_T, c_v e c_p. (Aqui eu só ilustrei o método — esta substituição é válida somente se a Eq. (6-55) realmente tiver essa forma.)

Resposta

Não é possível obter explicitamente as expressões finais pedidas porque a Eq. (6-55) (a equação de estado do sólido) não foi fornecida; com a Eq. (6-55) em mãos siga as fórmulas gerais apresentadas e substitua as derivadas \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p, \left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T e \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v para integrar e obter u(T,p) e h(T,p).

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