6.23 Para um sólido, cuja equação de estado é dada pela Eq. (6-55), e para o qual
e
são independentes de
, mostre que a energia interna específica e a entalpia específica são dadas por
Passo 1
O enunciado pede: para um sólido cuja equação de estado é dada pela Eq. (6-55), e para o qual
e
são independentes de
, mostrar as fórmulas da energia interna específica e da entalpia específica. As informações fornecidas no enunciado que eu tenho são apenas: (i) existe uma “Eq. (6-55)” que representa a equação de estado do sólido e (ii)
e
são constantes (independentes de
). O enunciado NÃO trouxe o texto ou a forma matemática da Eq. (6-55).
Observação importante: a Eq. (6-55) é necessária para calcular derivadas parciais como ou
que aparecem nas relações termodinâmicas. Sem conhecer a forma explícita da Eq. (6-55) não é possível obter expressões fechadas (numéricas/finais) para
e
. Portanto, com os dados que recebi não dá para finalizar a demonstração numérica/fechada pedida.
Observação importante: a Eq. (6-55) é necessária para calcular derivadas parciais como
Passo 2
Vou explicar passo a passo quais fórmulas gerais da termodinâmica usamos e por que a Eq. (6-55) é imprescindível — assim você aprende o método que deve aplicar assim que tiver a Eq. (6-55).
- Começamos pelas primeiras e fundamentais relações termodinâmicas para variação infinitesimal de energia interna específica
e entalpia específica :
aqui
é a temperatura,
entropia específica,
pressão,
volume específico. Essas são relações de estado fundamentais (primeira e segunda leis combinadas em forma diferencial).
- Relacionamos as variações de entropia com capacidades térmicas. Para qualquer substância:
onde
e
são as capacidades térmicas específicas a volume e a pressão constantes, respectivamente. No enunciado eles são dados como independentes de
(constantes), o que facilita integrações posteriores.
- Usando essas identidades e manipulações de diferenciais parciais obtém-se fórmulas úteis (que você verá frequentemente em provas):
Explicando: começamos com
. Substituímos
. Depois usamos uma relação de Maxwell para transformar
em
. O resultado é a expressão acima, que mostra que a variação de
tem uma parte
(dependência direta com
) mais uma parte que envolve
e a derivada
.
Analogamente, para
obtemos:
Aqui o termo adicional é a correção que depende de
e de
.
- Por que a Eq. (6-55) é necessária?
- Para usar as fórmulas acima e integrar
e para obter expressões explícitas de e precisamos conhecer as derivadas e . - Essas derivadas são exatamente as que se obtêm a partir da equação de estado do sólido — que o enunciado chama de Eq. (6-55). Sem saber a forma dessa equação (por exemplo, se ela é linearizada, se relaciona
, e de uma forma particular, etc.) não temos como calcular as derivadas e, portanto, não podemos integrar as expressões gerais acima para obter uma expressão fechada de e .
Passo 3
Vou mostrar como o procedimento segue assim que a Eq. (6-55) for conhecida — isto é, o “modo de fazer” que você deve aplicar na prova. Vou manter tudo simbólico (sem assumir a forma da Eq. (6-55)), para você ver cada passo e entender o que será necessário substituir.
- Partindo de
escrevemos
em termos de
e
usando a equação de estado:
Note o significado de cada derivada parcial:
é quanto o volume específico muda quando
varia mantendo
fixo;
é quanto o volume muda quando
varia mantendo
fixo. Ambas saem diretamente da Eq. (6-55).
- Substituindo
em :
Agora separamos os termos multiplicando:
Isto expressa
como combinação linear de
e
. Para obter
você integra essa expressão entre um estado de referência
e o estado
. Como
é função de estado, o resultado da integral será independente do caminho, mas para executar a integração precisa-se das expressões das derivadas parciais que são fornecidas pela Eq. (6-55).
- Para a entalpia, a mesma receita: partir de
aqui o coeficiente de
envolve
, que sai diretamente da Eq. (6-55). Para obter
integra-se entre
e
:
Novamente, sem conhecer a dependência
(Eq. (6-55)) não é possível calcular essas integrais em forma fechada.
Passo 4
Resumo didático do que você precisa fazer na prova (passo a passo rápido, estilo “faça isso”):
- Pegue a Eq. (6-55) e calcule
e . Se for mais fácil, calcule também usando a identidade
- Substitua essas derivadas nas expressões gerais:
(com
expresso via
e
), ou use a forma já desenvolvida em termos de
e
se preferir.
3. Integre entre o estado de referência e o estado final; como e
são constantes a integral de
ou
é imediata (
,
). As outras integrais vão resultar em termos que dependem da forma da Eq. (6-55).
4. Escreva e
. Somente após substituir explicitamente a Eq. (6-55) as expressões finais numéricas/fechadas aparecem.
3. Integre entre o estado de referência e o estado final; como
4. Escreva
Passo 5
Exemplo ilustrativo (opcional para fixar a ideia): se a Eq. (6-55) fosse a forma linearizada frequentemente usada para líquidos/solos:
onde
é coeficiente volumétrico de dilatação e
é compressibilidade isotérmica (constantes), então você calcularia
e
Substituindo essas quantidades nas fórmulas gerais apresentadas nos passos anteriores e integrando, você obteria expressões explícitas para
e
em termos de
,
,
,
,
,
e
. (Aqui eu só ilustrei o método — esta substituição é válida somente se a Eq. (6-55) realmente tiver essa forma.)
Resposta
Não é possível obter explicitamente as expressões finais pedidas porque a Eq. (6-55) (a equação de estado do sólido) não foi fornecida; com a Eq. (6-55) em mãos siga as fórmulas gerais apresentadas e substitua as derivadas
,
e
para integrar e obter
e
.