24.35 Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento de 15,0 m e armazena uma energia de 3,20 \times 10^{-7} \mathrm{~J} quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a 4,0 \mathrm{~V}. (a) Calcule o módulo da carga acumulada em cada condutor. (b) Calcule a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor extermo.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor cilíndrico de comprimento L=15{,}0\\ \mathrm{m} em ar ( \varepsilon\approx\varepsilon_0), que armazena energia U=3{,}20\times10^{-7}\\ \mathrm{J} quando a diferença de potencial é \Delta V=4{,}0\\ \mathrm{V}. Para resolver precisamos de duas fórmulas:
  1. Energia de um capacitor:
U = \tfrac12\,C\,(\Delta V)^2.
  1. Capacitância de um capacitor cilíndrico de raios interno a e externo b:
C = \frac{2\pi \varepsilon_0\,L}{\ln(b/a)}.

Passo 2

Primeiro encontramos a capacitância usando
C = \frac{2U}{(\Delta V)^2}.
Substituindo U=3{,}20\times10^{-7}\\ \mathrm{J} e \Delta V=4{,}0\\ \mathrm{V}:
C = \frac{2\times3{,}20\times10^{-7}}{(4{,}0)^2} =\frac{6{,}40\times10^{-7}}{16} =4{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{F}.

Passo 3

A carga acumulada em cada condutor é dada por
Q = C\,\Delta V.
Logo
Q = 4{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{F}\times4{,}0\\ \mathrm{V} =1{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da capacitância cilíndrica para achar \ln(b/a):
C = \frac{2\pi \varepsilon_0\,L}{\ln(b/a)} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) =\frac{2\pi \varepsilon_0\,L}{C}.
Substituindo \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, L=15{,}0\\ \mathrm{m} e C=4{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{F}:
\ln\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) =\frac{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,(15{,}0)}{4{,}0\times10^{-8}} \approx0{,}0209.

Passo 5

Desse valor de \ln(b/a) extraímos a razão dos raios. Como nos pedem \tfrac{a}{b}:
\frac{b}{a} = e^{0{,}0209}\approx1{,}0211 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{b}=\frac{1}{1{,}0211}\approx0{,}979.

Resposta

(a) Q=1{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
(b) \displaystyle \frac{a}{b}\approx0{,}98.

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