24.39 Duas placas paralelas possuem cargas iguais e opostas. Quando existe vácuo entre as placas, o módulo do campo elétrico é \mathrm{E}=3,20 \times 10^{3} \mathrm{V} / \mathrm{m}. Quando o espaço entre as placas é preenchido por um dielétrico, o campo elétrico possui módulo \mathrm{E}= 2,50 \times 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. (a) Qual é a densidade de carga em cada superfície do dielétri co? (b) Qual é o valor da constante dielétrica?

Passo 1

O enunciado descreve duas placas paralelas com cargas livres iguais e opostas. Entre elas, no vácuo, o campo é \mathrm{E}_0 = 3{,}20\times10^3\\ \mathrm{V/m}. Ao inserir um dielétrico, o campo cai para \mathrm{E} = 2{,}50\times10^3\\ \mathrm{V/m}.
Conteúdo: eletrostática de dielétricos em capacitor de placas planas.
Vamos usar:
\mathrm{E}_0 = \frac{\sigma_{\text{livre}}}{\varepsilon_0}
\mathrm{E} = \frac{\sigma_{\text{livre}}}{\kappa\,\varepsilon_0}
e a carga ligada (polarização) na superfície do dielétrico
\sigma_{\text{pol}} = \sigma_{\text{livre}} - \varepsilon_0\,\mathrm{E}

Passo 2

Calculamos a densidade de carga livre na placa a partir de \mathrm{E}_0.
\sigma_{\text{livre}} = \varepsilon_0\,\mathrm{E}_0
Tomando \varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\sigma_{\text{livre}} = 8{,}854\times10^{-12}\times3{,}20\times10^3 = 2{,}83\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 3

A densidade de carga de polarização em cada face do dielétrico é
\sigma_{\text{pol}} = \sigma_{\text{livre}} - \varepsilon_0\,\mathrm{E} = 2{,}83\times10^{-8} - 8{,}854\times10^{-12}\times2{,}50\times10^3 = 6{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}.
Essa carga aparece com sinal oposto em faces opostas do dielétrico ( +\sigma_{\text{pol}} numa face e -\sigma_{\text{pol}} na outra).

Passo 4

A constante dielétrica \kappa vem da razão entre o campo no vácuo e no dielétrico:
\kappa = \frac{\mathrm{E}_0}{\mathrm{E}} = \frac{3{,}20\times10^3}{2{,}50\times10^3} = 1{,}28.

Resposta

(a) A densidade de carga de polarização em cada superfície do dielétrico é
\sigma_{\text{pol}} = 6{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}
(com sinal + numa face e - na outra).
(b) A constante dielétrica vale
\kappa = 1{,}28.

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