5^{a} Questão - Um cilindro de Hélio ( H_{e_{2}} ) é mantido na temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}. qual é a fração de moléculas cuja velocidade está no intervalo de 475 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 525 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ? A massa molar do hélio é 0,0040026 \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}. Por simplificação, pode adotar a aproximação da integral por um retângulo.
\begin{aligned} & v_{\text {média }}=\frac{475+525}{2}=500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\ & \Delta v=(525-475)=50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\ & p=P(v) \Delta v=4 \pi\left(\frac{M}{2 \pi R T}\right)^{3 / 2} \cdot v^{2} \cdot e^{-\frac{M v^{2}}{2 R T}} \cdot \Delta v \end{aligned}é
\begin{gathered} p=4 \pi\left(\frac{0,0040026}{2 \pi \cdot 8,31 \cdot(273,15+15)}\right)^{3 / 2} \cdots \\\ \ldots(500)^{2} \cdot e^{-\frac{0,0040026 \cdot 500^{2}}{28,31 \cdot(273,15+15)}} \cdot 50 \\\ p=4 \pi \cdot\left(1,3722 \cdot 10^{-10}\right) \cdot(250000) \cdot e^{-0,2089} \cdot 50 \\\ p=0,0175=1,75 \% \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a fração de moléculas de hélio cuja velocidade está entre 475 m/s e 525 m/s a uma temperatura de 15\circC. O conteúdo é a distribuição de Maxwell–Boltzmann de velocidades e, para simplificar, usaremos a regra do retângulo (valor médio \times largura do intervalo).

Passo 2

A densidade de probabilidade de encontrar moléculas com velocidade v é dada por
P(v)=4\pi\Bigl(\frac{M}{2\pi R T}\Bigr)^{3/2}v^{2}\exp\Bigl(-\frac{M v^{2}}{2RT}\Bigr),
onde
\,M é a massa molar,
\,R a constante dos gases ideais e
\,T a temperatura absoluta.

Passo 3

Na aproximação por retângulo usamos o ponto médio do intervalo como
v_{\text{m}}=\frac{475+525}{2}=500\text{ m/s},
e a largura
\Delta v=525-475=50\text{ m/s},
logo a fração aproximada é
p\approx P(v_{\text{m}})\,\Delta v.

Passo 4

Calcular o fator
A=\Bigl(\frac{M}{2\pi R T}\Bigr)^{3/2}
com
M=0{,}0040026\text{ kg/mol},\quad R=8{,}314\text{ J/(mol\cdotK)},\quad T=15+273{,}15=288{,}15\text{ K}.
Primeiro
2\pi R T=2\pi\cdot8{,}314\cdot288{,}15\approx1{,}5046\times10^{4},
então
\frac{M}{2\pi R T}\approx\frac{0{,}0040026}{1{,}5046\times10^{4}} \approx2{,}661\times10^{-7},
e
A=(2{,}661\times10^{-7})^{3/2}\approx1{,}3722\times10^{-10}.

Passo 5

Calcular o fator exponencial em v_{\text{m}}=500\text{ m/s}:
\frac{M v_{\text{m}}^{2}}{2RT} =\frac{0{,}0040026\cdot(500)^{2}}{2\cdot8{,}314\cdot288{,}15} \approx0{,}2089,
logo
\exp\Bigl(-\frac{M v_{\text{m}}^{2}}{2RT}\Bigr) \approx e^{-0,2089}\approx0,8111.

Passo 6

Agora montamos
P(v_{\text{m}})=4\pi\;A\;v_{\text{m}}^{2}\;\exp\Bigl(-\frac{M v_{\text{m}}^{2}}{2RT}\Bigr) =4\pi\cdot1{,}3722\times10^{-10}\cdot(500)^{2}\cdot0{,}8111 \approx3{,}499\times10^{-4}\,\text{(m/s)}^{-1}.
Multiplicando por \Delta v=50 m/s,
p\approx3{,}499\times10^{-4}\times50 =0{,}017495\approx1{,}75\%.

Resposta

A fração de moléculas com velocidade entre 475 m/s e 525 m/s é aproximadamente 1{,}75\%.

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