- 24 A altura de um certo projétil é dada, em função do tempo, por
, em que
está em metros e
em segundos. (a) Trace
contra
no intervalo
s. (b) Calcule a velocidade média sobre cada intervalo inteiro de 1 s entre 0 e 10 s . Faça o gráfico de
contra
. (c) Determine a velocidade instantânea em função do tempo.
Passo 1
O enunciado diz que a altura de um projétil é dada por
com
em segundos e
em metros, e pede:
(a) o gráfico de versus
para
;
(b) a velocidade média em cada intervalo de 1 s entre 0 e 10 s, e o gráfico de versus
;
(c) a velocidade instantânea em função de .
Vamos usar a forma de parábola para (a), a definição de velocidade média em (b) e a regra da derivada de uma função quadrática em (c).
(a) o gráfico de
(b) a velocidade média em cada intervalo de 1 s entre 0 e 10 s, e o gráfico de
(c) a velocidade instantânea em função de
Vamos usar a forma de parábola para (a), a definição de velocidade média
Passo 2
Para fazer o gráfico de
observamos que é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de
é
).
- O vértice está em
, com altura
- As raízes (onde
) são soluções de , isto é, e .
Portanto, no intervaloo gráfico é uma parábola que parte de , sobe até e desce de volta a .
Passo 3
A velocidade média no intervalo de comprimento 1 s começando em
é
Agora calculamos
Usando
ficamos com
ficamos com
Passo 4
O gráfico de
para
(último intervalo de 1 s começa em
) é uma reta decrescente.
- Em
, . - Em
, .
Ela cruzaem .
Passo 5
Para obter a velocidade instantânea, derivamos
em relação a
.
Essa é a velocidade em qualquer instante
.
Resposta
(a) Gráfico de
: Parábola com vértice em
e zeros em
e
.
(b) , reta decrescente de
a
.
(c) .
(b)
(c)