• 24 A altura de um certo projétil é dada, em função do tempo, por y=-5(t-5)^2+125, em que y está em metros e t em segundos. (a) Trace y contra t no intervalo 0 <= t <= 10 s. (b) Calcule a velocidade média sobre cada intervalo inteiro de 1 s entre 0 e 10 s . Faça o gráfico de v med contra t. (c) Determine a velocidade instantânea em função do tempo.

Passo 1

O enunciado diz que a altura de um projétil é dada por
y = -5,(t-5)^2 + 125
com t em segundos e y em metros, e pede:
(a) o gráfico de y versus t para 0 <= t <= 10;
(b) a velocidade média em cada intervalo de 1 s entre 0 e 10 s, e o gráfico de vmed versus t;
(c) a velocidade instantânea em função de t.
Vamos usar a forma de parábola para (a), a definição de velocidade média De<a y/De<a t em (b) e a regra da derivada de uma função quadrática em (c).

Passo 2

Para fazer o gráfico de
y(t) = -5,(t-5)^2 + 125
observamos que é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de (t-5)^2 é -5).
  • O vértice está em t=5, com altura
;y(5) = -5cdot0^2 + 125 = 125
  • As raízes (onde y=0) são soluções de (t-5)^2 = 25, isto é, t=0 e t=10.
    Portanto, no intervalo 0 <= t <= 10 o gráfico é uma parábola que parte de (0,0), sobe até (5,125) e desce de volta a (10,0).

Passo 3

A velocidade média no intervalo de comprimento 1 s começando em t é
vmed(t) = y(t+1)-y(t)(t+1)-t = y(t+1)-y(t)
Agora calculamos
y(t+1)-y(t) = l[-5((t+1)-5)^2+125r] -l[-5(t-5)^2+125r] = -5l((t-4)^2-(t-5)^2r)
Usando (t-4)^2-(t-5)^2 = [(t-4)-(t-5)],[ (t-4)+(t-5) ] = 1,(2t-9) = 2t-9,
ficamos com
vmed(t) = -5(2t-9) = -10,t + 45

Passo 4

O gráfico de
vmed(t) = -10,t + 45
para 0 <= t <= 9 (último intervalo de 1 s começa em t=9) é uma reta decrescente.
  • Em t=0, vmed(0)=45.
  • Em t=9, vmed(9)=-45.
    Ela cruza vmed=0 em t=4,5.

Passo 5

Para obter a velocidade instantânea, derivamos y(t) em relação a t.
y(t) = -5(t-5)^2+125 Longrightarrow v(t) = dydt = -5cdot 2(t-5) = -10,(t-5) = -10,t + 50
Essa é a velocidade em qualquer instante t.

Resposta

(a) Gráfico de y(t): Parábola com vértice em (5,125) e zeros em t=0 e t=10.
(b) vmed(t) = -10,t + 45, reta decrescente de (0,45) a (9,-45).
(c) v(t) = -10,t + 50.

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