24 Um anel metálico de massa 150 g , inicialmente à temperatura de 160^{\circ} \mathrm{C}, foi colocado em uma cavidade feita na parte superior de um grande bloco de gelo em fusão, como mostrado na figura.
Após o equilíbrio térmico ser atingido, verificou-se que 30 \mathrm{~cm}^{3} de gelo se fundiram. Considerando o sistema (gelo-anel) termicamente isolado, qual o valor do calor específico do metal que constitui o anel?
Dados: calor latente de fusão do gelo: 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}; densidade do gelo: 0,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
SOLUÇÃO
\mathrm{Q}_{\text {cedido }}+\mathrm{Q}_{\text {recebido }}=0
(\mathrm{m} \mathrm{c} \Delta \mathrm{T})_{\text {anel }}+(\mathrm{m} \mathrm{L})_{\text {gelo }}=0
(\mathrm{m} \mathrm{c} \Delta \mathrm{T})_{\text {anel }}+\left(\mathrm{d} \mathrm{V} \mathrm{L}_{\mathrm{F}}\right)_{\text {gelo }}=0
150 \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{a}}(0-160)+0,92 \cdot 30 \cdot 80=0

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o calor específico do metal do anel, sabendo que o anel tem massa 150\\ \mathrm{g}, estava a 160^{\circ}\mathrm{C} e, após ser colocado sobre o gelo em fusão (sistema isolado), fez com que 30\\ \mathrm{cm}^3 de gelo se fundissem. Os dados fornecidos são:
\text{massa do anel } m_{\text{anel}} = 150\\ \mathrm{g}
\text{temperatura inicial do anel } T_i = 160^{\circ}\mathrm{C}
\text{volume de gelo fundido } V = 30\\ \mathrm{cm}^3
\text{densidade do gelo } \rho = 0{,}92\\ \mathrm{g/cm}^3
\text{calor latente de fusão do gelo } L = 80\\ \mathrm{cal/g}ã
O que se pergunta: calcular o calor específico c do metal do anel. O sistema (gelo + anel) é termicamente isolado, logo a energia trocada entre as partes se conserva.

Passo 2

Conservação de energia térmica (sem perdas): a soma dos calores trocados é zero:
Q_{\text{cedido}} + Q_{\text{recebido}} = 0.
Explico as fórmulas que vou usar:
  • Para uma variação de temperatura de um corpo, o calor trocado é dado por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa, c é o calor específico (unidade \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C})) e \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Para a fusão do gelo (mudança de fase a 0^{\circ}\mathrm{C}), o calor necessário é
Q = m_{\text{gelo}}\,L,
onde L é o calor latente de fusão (unidade \mathrm{cal/g}).
Vou usar essas duas expressões: uma para o anel (variação de temperatura) e outra para o gelo (fusão).

Passo 3

Identificar quem cede e quem recebe calor:
  • O anel, a 160^{\circ}\mathrm{C}, esfria até 0^{\circ}\mathrm{C} (temperatura de fusão do gelo) e, portanto, cede calor.
  • O gelo, a 0^{\circ}\mathrm{C}, recebe calor para se fundir; parte dele ( 30\\ \mathrm{cm}^3) derrete.
Logo a equação de balanço é
(m\,c\,\Delta T)_{\text{anel}} + (m_{\text{gelo}}\,L) = 0.
Importante sobre sinais: para o anel \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} = 0 - 160 = -160^{\circ}\mathrm{C}, então Q_{\text{anel}} será negativo (cedendo calor); Q_{\text{gelo}} é positivo (absorvendo calor).

Passo 4

Calcular a massa do gelo que se fundiu a partir do volume e da densidade (usei o dado do enunciado):
m_{\text{gelo}} = \rho \, V.
Substituindo os valores:
m_{\text{gelo}} = 0{,}92\\ \mathrm{g/cm}^3 \times 30\\ \mathrm{cm}^3 = 27{,}6\\ \mathrm{g}.
Expliquei: multiplica-se densidade (g por cm^3) pelo volume (cm^3) para obter a massa em gramas.

Passo 5

Agora escrevo a equação numérica do balanço de energia, substituindo m_{\text{anel}}=150\\ \mathrm{g}, \Delta T = -160^{\circ}\mathrm{C}, m_{\text{gelo}}=27{,}6\\ \mathrm{g} e L=80\\ \mathrm{cal/g}:
150\cdot c \cdot (0-160) + 27{,}6 \cdot 80 = 0.
Vou simplificar passo a passo:
150\cdot c \cdot (-160) + 27{,}6\cdot 80 = 0.

Passo 6

Calculo os termos numéricos:
150\cdot (-160) = -24\,000,
27{,}6\cdot 80 = 2\,208.
Então a equação fica
-24\,000\,c + 2\,208 = 0.
Isolando c:
24\,000\,c = 2\,208
c = \dfrac{2\,208}{24\,000}.

Passo 7

Faço a divisão (faço à mão: 2\,208/24\,000 = 0{,}092):
c = 0{,}092\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}).
Interpretação rápida: esse é o calor específico do metal do anel em unidades habituais de calorias por grama por grau Celsius. O valor é coerente com metais (é da ordem de décimos de cal/g°C).

Resposta

0{,}092\\ \mathrm{cal}\,/\,( \mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C})

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