25 Num calorímetro ideal, misturam-se 200 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} com 200 g de água a 40^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: calor específico da água =1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C};

Passo 1

O enunciado diz que, em um calorímetro ideal, se misturam:
  • uma massa de gelo m_{\text{gelo}}=200\\ \mathrm{g} inicialmente a 0^\circ\mathrm{C};
  • uma massa de água m_{\text{água}}=200\\ \mathrm{g}á inicialmente a 40^\circ\mathrm{C}.
Também é dado o calor específico da água:
c_{\text{água}} = 1{,}0\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).á
O enunciado não explicitou o calor latente de fusão do gelo, que é necessário para resolver o problema. Vou usar o valor padrão empregado em termodinâmica:
L = 80\\ \mathrm{cal}\,/ \mathrm{g}.
O que o problema pede (o objetivo que vamos encontrar):
  • a temperatura de equilíbrio final da mistura;
  • quanto de gelo (ou água) sobra ao final (se for relevante).

Passo 2

Princípio físico usado (explicadinho): conservação de energia térmica num calorímetro ideal. Isso significa que o calor perdido por um corpo quente é igual ao calor ganho por um corpo frio, pois não há trocas com o ambiente. Em fórmula:
\text{calor perdido} + \text{calor ganho} = 0.
Na prática, escolhemos o que perde calor como negativo e o que ganha como positivo e somamos tudo.
As formas de calor que aparecem aqui são:
  • aquecimento/resfriamento de água: \displaystyle Q = m\,c\,\Delta T, onde m é a massa, c o calor específico e \Delta T a variação de temperatura (em graus Celsius);
  • fusão do gelo (mudança de fase a 0^\circ\mathrm{C}): \displaystyle Q = m\,L, onde L é o calor latente de fusão (energia necessária para fundir 1\\ \mathrm{g} de gelo sem mudar a temperatura).
Vou definir variáveis que usarei:
  • m_{\text{gelo}}=200\\ \mathrm{g} (massa inicial do gelo a 0^\circ\mathrm{C});
  • m_{\text{água}}=200\\ \mathrm{g}á (massa inicial da água a 40^\circ\mathrm{C});
  • c_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})á;
  • L=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g} (calor latente de fusão do gelo).

Passo 3

Estratégia conceitual: quando misturamos gelo a 0^\circ\mathrm{C} com água a 40^\circ\mathrm{C}, a água quente pode:
  1. ceder calor ao resfriar-se até 0^\circ\mathrm{C};
  2. esse calor cedido pode ser usado para fundir parte (ou todo) o gelo; se ainda sobrar calor após fundir todo o gelo, a temperatura final será >0^\circ\mathrm{C} e teremos água só. Se não houver calor suficiente para fundir todo o gelo, a temperatura final será 0^\circ\mathrm{C} e ficará gelo remanescente junto com água.
Portanto precisamos comparar:
  • calor disponível ao resfriar a água de 40^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C},
    com
  • calor necessário para fundir todo o gelo.

Passo 4

Calcular o calor que a água quente pode ceder ao resfriar até 0^\circ\mathrm{C}.
Usamos \displaystyle Q_{\text{cedido}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,\Delta Táá, com \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} = 0^\circ\mathrm{C}-40^\circ\mathrm{C} = -40^\circ\mathrm{C}. O valor absoluto do calor cedido (energia disponível) é:
Q_{\text{disponível}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}} \cdot 40.íáá
Substituindo números:
Q_{\text{disponível}} = 200\\ \mathrm{g} \times 1{,}0\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}} \times 40 = 200\times40 = 8000\\ \mathrm{cal}.í
Explicação simples: cada grama de água que desce 1^\circC libera 1{,}0\\ \mathrm{cal}. Entre 40^\circ\mathrm{C} e 0^\circ\mathrm{C} são 40 graus, então cada grama libera 40 cal; com 200 g isso dá 200\cdot40=8000 cal.

Passo 5

Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo.
Se quisermos fundir toda a massa de gelo m_{\text{gelo}}=200\\ \mathrm{g}, a energia requerida é:
Q_{\text{necessário}} = m_{\text{gelo}} \, L = 200\\ \mathrm{g} \times 80\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}} = 16000\\ \mathrm{cal}.á
Interpretação: para cada grama de gelo precisamos de 80 cal para transformá-lo em água a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Comparação entre energia disponível e necessária.
  • Energia disponível para fusão (vinda do resfriamento da água quente até 0^\circ\mathrm{C}): 8000\\ \mathrm{cal} (Passo 4).
  • Energia necessária para fundir todo o gelo: 16000\\ \mathrm{cal} (Passo 5).
Conclusão: 8000\\ \mathrm{cal} < 16000\\ \mathrm{cal}. Ou seja, não há calor suficiente para fundir todo o gelo. Logo a temperatura de equilíbrio será 0^\circ\mathrm{C}, porque o processo pára quando a água quente esfriou até 0^\circ\mathrm{C} e parte do gelo derreteu, chegando a um equilíbrio entre gelo e água ambos a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a massa de gelo que efetivamente derrete com o calor disponível.
Se m_{\text{derretida}} for a massa de gelo que derrete, a energia necessária para isso é:
Q_{\text{para derreter}} = m_{\text{derretida}} \, L.
Essa energia vem do calor disponível Q_{\text{disponível}}=8000\\ \mathrm{cal}í. Igualando:
m_{\text{derretida}} \, L = Q_{\text{disponível}}.í
Isolando m_{\text{derretida}}:
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{disponível}}}{L} = \frac{8000}{80} = 100\\ \mathrm{g}.í
Interpretação: apenas 100\\ \mathrm{g} do gelo conseguem derreter com o calor que a água de 40^\circ\mathrm{C} libera ao se resfriar até 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Determinar quantidades finais e confirmar temperatura final.
  • Massa de gelo inicial: 200\\ \mathrm{g}.
  • Massa de gelo que derreteu: 100\\ \mathrm{g}.
  • Logo, massa de gelo remanescente: 200 - 100 = 100\\ \mathrm{g}.
A água final é constituída pela água original (que agora está a 0^\circ\mathrm{C}) mais a água proveniente do gelo que derreteu:
m_{\text{água final}} = 200\\ \mathrm{g} + 100\\ \mathrm{g} = 300\\ \mathrm{g}.á
Como vimos no Passo 6, a temperatura de equilíbrio é 0^\circ\mathrm{C} porque não houve calor suficiente para levar toda a massa à temperatura acima de 0^\circ\mathrm{C} e fundir todo o gelo.

Resposta

Temperatura final: 0^\circ\mathrm{C}
Massa de gelo remanescente: 100\\ \mathrm{g}

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