3.24 Um carro de corridas percorre, em sentido anti-horário, uma pista circular de 1 km de diâmetro, passando pela extremidade sul, a 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, no instante t=0. A partir daí, o piloto acelera o carro uniformemente, atingindo 240 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \mathrm{em} 10 \mathrm{~s}. (a) Que distância o carro percorre na pista entre t=0 e t=1 \mathrm{~s} ? (b) Determine o vetor aceleração média do carro entre t=0 e t=10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado descreve um carro de corrida que se move em sentido anti-horário numa pista circular de diâmetro 1\,\mathrm{km} (raio R=0,5\,\mathrm{km}), passando pelo ponto mais ao sul no instante t=0 com velocidade de 60\,\mathrm{km/h}. A partir daí o carro acelera de forma tangencial uniforme até atingir 240\,\mathrm{km/h} em 10\,\mathrm{s}. Pede-se:
(a) a distância percorrida ao longo da pista entre t=0 e t=1\,\mathrm{s};
(b) o vetor aceleração média \displaystyle\vec a_{\mathrm{m}}=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t} entre t=0 e t=10\,\mathrm{s}.
Para resolver, usaremos cinemática retilínea (movimento uniformemente variado ao longo da pista) e representação vetorial da velocidade num sistema de coordenadas cartesianas com x para leste e y para norte.

Passo 2

Convertemos as velocidades iniciais e finais para o SI e achamos a aceleração tangencial:
\displaystyle v_0=60\,\mathrm{km/h}=\frac{60\,000}{3\,600}=16,67\,\mathrm{m/s},\quad v_f=240\,\mathrm{km/h}=66,67\,\mathrm{m/s}.
Como a aceleração tangencial é constante,
a_t=\frac{v_f - v_0}{10\,\mathrm{s}}=\frac{66,67 - 16,67}{10}=5,0\,\mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Para a parte (a), a distância percorrida em t=1\,\mathrm{s} num MUV é
\Delta s = v_0\,t + \tfrac12\,a_t\,t^2.
Substituindo v_0=16,67\,\mathrm{m/s}, a_t=5,0\,\mathrm{m/s^2} e t=1\,\mathrm{s},
\Delta s = 16,67\cdot1 + \tfrac12\cdot5,0\cdot1^2 = 19,17\,\mathrm{m}.

Passo 4

Para a parte (b), precisamos de \vec v(0) e \vec v(10). Escolhendo o ponto sul como \theta_0=-\tfrac{\pi}{2} no círculo de raio R=500\,\mathrm{m}, o versor tangente em t=0 (sentido anti-horário) é
\displaystyle\hat t(0)=(-\sin\theta_0,\cos\theta_0)=(1,0).
Logo
\vec v(0) = v_0\,(1,0) = (16,67,\,0)\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Calculamos o deslocamento angular até t=10\,\mathrm{s}. A distância ao longo da pista foi
s_{\mathrm{tot}}=v_0\cdot10 + \tfrac12\,a_t\cdot10^2 =16,67\cdot10 + \tfrac12\cdot5,0\cdot100 =416,67\,\mathrm{m}.
O ângulo percorrido é
\Delta\theta = \frac{s_{\mathrm{tot}}}{R} = \frac{416,67}{500} = 0,8333\\ \mathrm{rad}.
Então \theta_f=-\tfrac{\pi}{2}+0,8333. O versor tangente em t=10\,\mathrm{s} é
\hat t(10)=(-\sin\theta_f,\cos\theta_f) =(\cos0,8333,\sin0,8333).
Assim
\vec v(10)=v_f\,\hat t(10) =66,67\,(\cos0,8333,\sin0,8333) \approx(44,84,\,49,33)\,\mathrm{m/s}.

Passo 6

A variação de velocidade é
\Delta\vec v=\vec v(10)-\vec v(0) =(44,84-16,67,\;49,33-0) =(28,17,\;49,33)\,\mathrm{m/s}.
Logo o vetor aceleração média é
\vec a_{\mathrm{m}} =\frac{\Delta\vec v}{10\,\mathrm{s}} =(2,817,\;4,933)\,\mathrm{m/s^2} \approx(2,82\,\hat\imath + 4,93\,\hat\jmath)\,\mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) 19,17\,\mathrm{m}.
(b) \displaystyle\vec a_{\mathrm{m}}\approx(2,82\,\hat\imath + 4,93\,\hat\jmath)\,\mathrm{m/s^2}.

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