24^circ ) Use a desigualdade triangular para mostrar que
| x|-|y|| <=|x-y|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números reais x e y, vale
l|,|x|-|y|,r|<=|x-y|
usando a desigualdade triangular
|u+v|<=|u|+|v|

Passo 2

Aplique a desigualdade triangular ao par (u,v)=(x-y,y). Assim,
|x| = |(x-y)+y|<=|x-y|+|y|
Reorganizando, obtemos
|x|-|y|<=|x-y|

Passo 3

Troque os papéis de x e y. Aplicando a desigualdade triangular a (u,v)=(y-x,x)
|y| = |(y-x)+x|<=|y-x|+|x| = |x-y|+|x|,
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|y|-|x|<=|x-y|

Passo 4

Das duas desigualdades
|x|-|y|<=|x-y| e |y|-|x|<=|x-y|
concluímos que o valor absoluto da diferença de |x| e |y| também não ultrapassa |x-y|. Em outras palavras,
l|,|x|-|y|,r|<=|x-y|

Resposta

l|,|x|-|y|,r|<=|x-y|

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