QUESTÃO 4(2,5 pontos). Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
y=ln (x), x=5 e o eixo Ox.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas ,y=ln(x), ,x=5 e o eixo Ox.
Esse tipo de problema usamos cálculo de área sob a curva, ou seja, uma integral definida em x.

Passo 2

Precisamos achar onde ln(x) cruza o eixo Ox, isto é, resolver
ln(x)=0,
Isso ocorre em x=1. Logo a região está entre x=1 e x=5, e para cada x nessa faixa y vai de 0 até ln(x).

Passo 3

A área A é dada por
A = integral1^5 l[ln(x)-0r],dx = integral1^5ln(x),dx

Passo 4

Para calcular integralln(x),dx usamos integração por partes, tomando
u=ln(x),, dv=dx Longrightarrow du=1x,dx,, v=x
Então
integralln(x),dx = xln(x) - integral xcdot1x,dx = xln(x) - integral 1,dx = xln(x) - x + C

Passo 5

Avaliaremos xln(x)-x de 1 a 5:
A = l[xln(x)-xr]1^5 = l(5ln(5)-5r)-l(1cdotln(1)-1r) =5ln(5)-5 - (0-1) =5ln(5)-4

Resposta

A área da região é ;5ln(5)-4; (unidades de área).

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