Considere a curva de equações paramétricas e , .
(a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto .
(b) Determine a reta tangente que passa no ponto .
(c) Verifique se existe reta tangente passando no ponto .
Passo 1
O enunciado define a curva por
e pede:
(a) reta tangente e plano normal em ,
(b) reta tangente que passa por ,
(c) verificar a existência de reta tangente passando por .
Para isso vamos precisar de para obter direções de tangente e montar sistemas lineares para (b) e (c).
Passo 2
Vamos calcular
Em temos tal que , logo . Então
A reta tangente em tem equação vetorial
ou em coordenadas paramétricas
O plano normal em é o plano com vetor normal , então
ou
Passo 3
Para (b) queremos a reta tangente num ponto que passe por . A reta em é
Impor que para algum isto seja gera o sistema
Passo 4
Da primeira equação s0=-t1. Substituindo na segunda:
Então t1=-1 e s0=1. A reta procurada é a tangente em t1=-1:
ell:; r=(-1,,1,,-1)+s,(1,,-2,,3)
Passo 5
Para (c) repetimos o mesmo sistema trocando
Como antes vem ,
o que não é compatível com . Logo não existe reta tangente passando por .
Resposta
(a) Reta tangente: x=2+s,;y=4+4s,;z=8+12s.
Plano normal: x+4y+12z-114=0.
(b) Reta tangente: x=-1+s,;y=1-2s,;z=-1+3s.
(c) Não existe reta tangente passando por Q1=(0,-1,3).