1. Considere a curva gamma de equações paramétricas x=t, y=t^2 e z=t^3, -infty<t<infty.
    (a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto P0(2,4,8).
    (b) Determine a reta tangente que passa no ponto P1(0,-1,2).
    (c) Verifique se existe reta tangente passando no ponto Q1(0,-1,3).

Passo 1

O enunciado define a curva gamma por
gamma(t) = l(x(t),y(t),z(t)r) = l(t,;t^2,;t^3r), tin(-infty,infty),
e pede:
(a) reta tangente e plano normal em P0=(2,4,8),
(b) reta tangente que passa por P1=(0,-1,2),
(c) verificar a existência de reta tangente passando por Q1=(0,-1,3).
Para isso vamos precisar de r'(t) para obter direções de tangente e montar sistemas lineares para (b) e (c).

Passo 2

Vamos calcular
r'(t) =l(x'(t),y'(t),z'(t)r) =(1,;2t,;3t^2)
Em P0 temos t0 tal que gamma(t0)=(2,4,8), logo t0=2. Então
r'(2) = (1,,4,,12)
A reta tangente em P0 tem equação vetorial
ell:; r = (2,4,8) + s,(1,4,12), sinR,
ou em coordenadas paramétricas
x=2+s, y=4+4s, z=8+12s
O plano normal em P0 é o plano com vetor normal n=r'(2), então
ncdotl((x,y,z)-(2,4,8)r)=0 ;Longrightarrow; (x-2)+4(y-4)+12(z-8)=0
ou
x+4y+12z-114=0

Passo 3

Para (b) queremos a reta tangente num ponto t1 que passe por P1=(0,-1,2). A reta em t1 é
r=gamma(t1)+s,r'(t1) =l(t1,t1^2,t1^3r) +s,(1,2t1,3t1^2)
Impor que para algum s=s0 isto seja P1 gera o sistema
t1 + s0 = 0, t1^2 + 2t1,s0 = -1, t1^3 + 3t1^2,s0 = 2

Passo 4

Da primeira equação s0=-t1. Substituindo na segunda:
t1^2 - 2t1^2 = -1 ;Longrightarrow; -t1^2 = -1 ;Longrightarrow; t1^2=1 ;Longrightarrow; t1=pm1
Na terceira:
t1^3 -3t1^3 = 2 ;Longrightarrow; -2t1^3=2 ;Longrightarrow; t1^3=-1 ;Longrightarrow; t1=-1
Então t1=-1 e s0=1. A reta procurada é a tangente em t1=-1:
ell:; r=(-1,,1,,-1)+s,(1,,-2,,3)

Passo 5

Para (c) repetimos o mesmo sistema trocando
Como antes vem ,
o que não é compatível com . Logo não existe reta tangente passando por .

Resposta

(a) Reta tangente: x=2+s,;y=4+4s,;z=8+12s.
Plano normal: x+4y+12z-114=0.
(b) Reta tangente: x=-1+s,;y=1-2s,;z=-1+3s.
(c) Não existe reta tangente passando por Q1=(0,-1,3).

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