24 ^ a ) Um foguete com massa de 5 times 10^3 kg está em uma órbita circular de raio 7,2 times 10^6 m em tomo da Terra. Os motores do foguete são acionados por um período para aumentar esse raio para 8,8 times 10^6 m, com a órbita novamente circular. (a) Qual é a variação da energia cinética do foguete? Ela aumenta ou diminui? (b) Qual
é a variação da energia potencial gravitacional do foguete? Ela aumenta ou diminui? (c) Qual é o trabalho realizado pelos motores do foguete na mudança do raio orbital?

Passo 1

O foguete de massa m=5times10^3,kg está inicialmente em órbita circular de raio r1=7,2times10^6,m e vai para outra órbita circular de raio r2=8,8times10^6,m. O que pedem é:
  • (a) a variação da energia cinética De<a K,
  • (b) a variação da energia potencial gravitacional De<a U,
  • (c) o trabalho W realizado pelos motores.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Em órbita circular a velocidade vale
v=raizG,Mr,
onde G,Mapprox3,986times10^14,m^3/s^2 é o parâmetro gravitacional da Terra.
2. A energia cinética é
K=12,m,v^2=12,m,G,Mr
  1. A energia potencial gravitacional é
U=-G,M,mr
  1. O trabalho dos motores, em ausência de outras forças dissipativas, é igual à variação da energia mecânica total:
W=De<a Erm mec=De<a K+De<a U

Passo 2

Cálculo de De<a K=K2-K1. Como
Ki=12,m,G,Mri,
temos
De<a K =12,m,G,Ml(1r2-1r1r)
Substituindo números:
1r2-1r1 =18,8times10^6-17,2times10^6 approx-2,525times10^-8,m^-1,
De<a K approx12cdot5times10^3cdot3,986times10^14cdot(-2,525times10^-8) approx-2,52times10^10,J
Como De<a K<0, a energia cinética diminui.

Passo 3

Cálculo de De<a U=U2-U1. Como
Ui=-G,M,mri,
temos
De<a U =-G,M,mr2+G,M,mr1 =G,M,ml(1r1-1r2r)
Substituindo:
1r1-1r2 approx2,525times10^-8,m^-1,
De<a U approx5times10^3cdot3,986times10^14cdot2,525times10^-8 approx5,03times10^10,J
Como De<a U>0, a energia potencial aumenta (torna-se menos negativa).

Passo 4

O trabalho dos motores é
W=De<a K+De<a U approx(-2,52times10^10)+(5,03times10^10) =2,51times10^10,J
Alternativamente, nota-se que
W =12,m,G,Ml(1r1-1r2r) approx2,51times10^10,J

Resposta

(a) De<a Kapprox -2,52times10^10,J (diminui).
(b) De<a Uapprox +5,03times10^10,J (aumenta).
(c) Wapprox +2,51times10^10,J.

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