P. 82 Três condutores de mesma capacitância
são eletrizados e adquirem potenciais
e
, respectivamente. Prove que, após o contato, o potencial comum é igual à média aritmética dos potenciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos três condutores, que são como capacitores, cada um com a mesma capacitância
. Eles são carregados com potenciais elétricos diferentes:
,
e
. A ideia é mostrar que, quando esses condutores se tocam, o potencial final que todos eles vão ter é a média aritmética desses três potenciais iniciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como a carga é armazenada nos condutores e como a conservação da carga funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga armazenada em um condutor é dada pela fórmula:
Onde
é a carga,
é a capacitância e
é o potencial.
Como os três condutores têm a mesma capacitância
, as cargas iniciais de cada um são:
Passo 3
Quando os três condutores se tocam, as cargas vão se redistribuir para igualar o potencial entre eles. Como a carga total é conservada, a soma das cargas iniciais é igual à soma das cargas finais. Vamos chamar o potencial comum após o contato de
.
A carga total antes do contato é:
Passo 4
Após o contato, todos os três condutores têm o mesmo potencial
. Então, a carga em cada condutor passa a ser:
Como são três condutores, a carga total final é:
Passo 5
Pela conservação da carga, a carga total antes é igual à carga total depois:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 6
Agora é só resolver para
:
Resposta
O potencial comum após o contato é igual à média aritmética dos potenciais iniciais: