P. 82 Três condutores de mesma capacitância C são eletrizados e adquirem potenciais V1, V2 e V3, respectivamente. Prove que, após o contato, o potencial comum é igual à média aritmética dos potenciais V1, V2 e V3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos três condutores, que são como capacitores, cada um com a mesma capacitância C . Eles são carregados com potenciais elétricos diferentes: V1 , V2 e V3 . A ideia é mostrar que, quando esses condutores se tocam, o potencial final que todos eles vão ter é a média aritmética desses três potenciais iniciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como a carga é armazenada nos condutores e como a conservação da carga funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga armazenada em um condutor é dada pela fórmula:
Q = C times V
Onde Q é a carga, C é a capacitância e V é o potencial.
Como os três condutores têm a mesma capacitância C , as cargas iniciais de cada um são:
Q1 = C times V1
Q2 = C times V2
Q3 = C times V3

Passo 3

Quando os três condutores se tocam, as cargas vão se redistribuir para igualar o potencial entre eles. Como a carga total é conservada, a soma das cargas iniciais é igual à soma das cargas finais. Vamos chamar o potencial comum após o contato de V .
A carga total antes do contato é:
Qtotal = Q1 + Q2 + Q3 = C V1 + C V2 + C V3 = C (V1 + V2 + V3)

Passo 4

Após o contato, todos os três condutores têm o mesmo potencial V . Então, a carga em cada condutor passa a ser:
Qfinal = C times V
Como são três condutores, a carga total final é:
Qfinal total = 3C V

Passo 5

Pela conservação da carga, a carga total antes é igual à carga total depois:
C (V1 + V2 + V3) = 3C V
Podemos simplificar C dos dois lados:
V1 + V2 + V3 = 3V

Passo 6

Agora é só resolver para V :
V = V1 + V2 + V33

Resposta

O potencial comum após o contato é igual à média aritmética dos potenciais iniciais:
V = V1 + V2 + V33

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