(32 pontos - Não é necessário justificar essa questão) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( ) A série dada por
-1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\ldots
converge para 1.
(b) ( ) Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} uma série convergente de termos positivos. Então a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} também é convergente.
(c) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e^{n}}+\frac{1}{n(n+1)}\right) é convergente.
(d) ( ) A sequência, cujo termo geral é a_{n}=\frac{\ln (n)}{n}, é limitada e é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação em verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries (geométrica, telescópica e comparações gerais) e estudo de convergência de sequência. Vamos usar soma de série geométrica, telescopia, propriedade de termos de séries convergentes e o limite \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.

Passo 2

(a) A série é
-1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \cdots.
Reconhecemos o termo geral positivo como \bigl(\tfrac23\bigr)^n para n\ge1. Logo
\sum_{n=0}^{\infty} a_n = -1 + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac23\Bigr)^n = -1 + \frac{\frac23}{1-\frac23} = -1 + 2 = 1.
Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) Se \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge com a_n>0, então a_n\to0. Assim 1/a_n\to+\infty, logo o termo geral de \sum1/a_n não tende a zero, o que impede convergência. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) Escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{e^n}+\frac{1}{n(n+1)}\Bigr) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^n} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}.
A primeira é geométrica de razão 1/e<1, converge. A segunda telescopa pois
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},
e soma-se até dar 1-\tfrac1{N+1}\to1. Logo ambas convergem e a soma também. A afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) A sequência é a_n=\frac{\ln n}{n}. Usamos o limite clássico
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0,
logo ela converge para 0. Além disso, para n\ge1, \ln n\le n, então 0\le a_n\le1; assim é limitada. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira

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