(32 pontos - Não é necessário justificar essa questão) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( ) A série dada por
converge para 1.
(b) ( ) Seja
uma série convergente de termos positivos. Então a série
também é convergente.
(c) ( ) A série
é convergente.
(d) ( ) A sequência, cujo termo geral é
, é limitada e é convergente.
(a) ( ) A série dada por
(b) ( ) Seja
(c) ( ) A série
(d) ( ) A sequência, cujo termo geral é
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação em verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries (geométrica, telescópica e comparações gerais) e estudo de convergência de sequência. Vamos usar soma de série geométrica, telescopia, propriedade de termos de séries convergentes e o limite
.
Passo 2
(a) A série é
Reconhecemos o termo geral positivo como
para
. Logo
Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) Se
converge com
, então
. Assim
, logo o termo geral de
não tende a zero, o que impede convergência. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 4
(c) Escrevemos
A primeira é geométrica de razão
, converge. A segunda telescopa pois
e soma-se até dar
. Logo ambas convergem e a soma também. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) A sequência é
. Usamos o limite clássico
logo ela converge para
. Além disso, para
,
, então
; assim é limitada. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira