Verifique se as integrais abaixo são impróprias. Caso sejam, verifique se convergem ou divergem.
\int_{2}^{5} \frac{1}{\sqrt{x-2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral
\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx
é imprópria e, caso seja, determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no limite de integração.

Passo 2

Observamos que, quando x\to2^+, o denominador \sqrt{x-2} tende a zero e a função \frac{1}{\sqrt{x-2}} torna‐se não limitada. Portanto a integral é imprópria devido à singularidade em x=2.

Passo 3

Reescrevemos a integral como limite no ponto singular:
\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx =\lim_{a\to2^+}\int_{a}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de \frac{1}{\sqrt{x-2}}. Basta usar a substituição u=x-2, mas o resultado é bem conhecido:
\int \frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx =2\sqrt{x-2}+C.

Passo 5

Agora avaliamos o limite:
\lim_{a\to2^+}\Bigl[2\sqrt{x-2}\Bigr]_{x=a}^{x=5} =\lim_{a\to2^+}\bigl(2\sqrt{5-2}-2\sqrt{a-2}\bigr) =2\sqrt{3}-0 =2\sqrt{3}.
Como o valor é finito, a integral converge.

Resposta

A integral é imprópria (singularidade em x=2) e converge, valendo 2\sqrt{3}.

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