Complete cada um dos subconjuntos E linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de E=R^3, n=1, u1=(0,1,1) :

Passo 1

O objetivo é completar o conjunto X={u₁} com vetores de modo a obter uma base de E=ℝ³. O conteúdo usado aqui é a definição de base (conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço) e o fato de que dim(ℝ³)=3, então precisamos de exatamente 3 vetores.

Passo 2

Como já temos u₁=(0,1,1), precisamos adicionar mais dois vetores v₂ e v₃ tais que {u₁,v₂,v₃} seja linearmente independente. Uma estratégia simples é escolher vetores do sistema padrão que não fiquem no mesmo subespaço gerado por u₁.

Passo 3

Vamos escolher, por exemplo,
v2=(1,0,0), v3=(0,1,0)

Passo 4

Agora verificamos a independência linear de {u₁,v₂,v₃}. Suponha
αu1+βv2+γv3=(0,0,0)

Passo 5

Escrevendo em coordenadas,
α(0,1,1)+β(1,0,0)+γ(0,1,0)=(β, α+γ,α)=(0,0,0)

Passo 6

Dessa igualdade obtemos as equações β=0, α+γ=0, α=0. Daqui α=0 implica γ=0, e β=0. Logo só a combinação trivial anula, mostrando independência linear.

Passo 7

Como temos 3 vetores independentes em ℝ³, eles formam uma base de ℝ³.

Resposta

Uma possível base é { u1=(0,1,1), v2=(1,0,0), v3=(0,1,0)}.

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