Complete cada um dos subconjuntos
linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de
:
Passo 1
O objetivo é completar o conjunto X={u₁} com vetores de modo a obter uma base de E=ℝ³. O conteúdo usado aqui é a definição de base (conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço) e o fato de que dim(ℝ³)=3, então precisamos de exatamente 3 vetores.
Passo 2
Como já temos u₁=(0,1,1), precisamos adicionar mais dois vetores v₂ e v₃ tais que {u₁,v₂,v₃} seja linearmente independente. Uma estratégia simples é escolher vetores do sistema padrão que não fiquem no mesmo subespaço gerado por u₁.
Passo 3
Vamos escolher, por exemplo,
Passo 4
Agora verificamos a independência linear de {u₁,v₂,v₃}. Suponha
Passo 5
Escrevendo em coordenadas,
Passo 6
Dessa igualdade obtemos as equações β=0, α+γ=0, α=0. Daqui α=0 implica γ=0, e β=0. Logo só a combinação trivial anula, mostrando independência linear.
Passo 7
Como temos 3 vetores independentes em ℝ³, eles formam uma base de ℝ³.
Resposta
Uma possível base é {
,
,
}.