25 Determinar os valores de m e n para que a reta r:lx=3+t y=-1-t z=-2-t esteja contida no plano pi: 2 x+m y+n z-5=0.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x=3+t, y=-1-t, z=-2-t,
e o plano
pi:2x+m,y+n,z-5=0
Queremos valores de m e n tais que toda a reta r esteja contida em pi. Vamos usar dois fatos de geometria analítica:
  1. O vetor direção da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.
  2. Um ponto qualquer da reta deve satisfazer a equação do plano.

Passo 2

Extraímos o vetor direção de r e o vetor normal de pi.
O vetor direção é
v=(1,-1,-1),
e o vetor normal ao plano é
n=(2,m,n)
Para que v seja paralelo ao plano, devemos ter
ncdotv=0
ou seja
2cdot1 + mcdot(-1) + ncdot(-1)=0
Isso gera a primeira equação:
2 - m - n = 0

Passo 3

Escolhemos um ponto da reta, por exemplo para t=0:
P=(3,-1,-2)
Esse ponto deve satisfazer a equação do plano:
2cdot3 + mcdot(-1) + ncdot(-2) - 5 = 0
Isso gera a segunda equação:
6 - m - 2n - 5 = 0 Longrightarrow m + 2n = 1

Passo 4

Resolvemos o sistema de duas equações lineares em
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
Substituindo em (m+n=2] vem

Resposta

m=3,;n=-1

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