24 Seja
f(x)=ll 4-x^2 & se x <= 2 x-1 & se x>2
(a) Encontre lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x).
(b) Existe lim x 2 f(x) ?
(c) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= 4 - x^2, & x <= 2, x - 1, & x > 2
O conteúdo é cálculo de limites laterais em x=2, verificação de existência de limite e esboço de gráfico de função definida por partes. Para os limites usamos substituição nos ramos correspondentes; para o gráfico, desenhamos a parábola truncada em x=2 e a reta a partir de x=2.

Passo 2

Calcule limxto2^-f(x). Como x se aproxima de 2 pela esquerda, usamos o ramo f(x)=4-x^2. Logo,
limxto2^-f(x) =4 - (2)^2 =4 - 4 =0

Passo 3

Calcule limxto2^+f(x). Agora x se aproxima de 2 pela direita, e usamos o ramo f(x)=x-1. Então,
limxto2^+f(x) =2 - 1 =1

Passo 4

Para existir limxto2f(x), é preciso que os limites laterais coincidam. Aqui
limxto2^-f(x)=0 e limxto2^+f(x)=1,
são diferentes. Portanto o limite em x=2 não existe.

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
– Para x<=2, é a parte da parábola y=4-x^2, que tem vértice em (0,4) e atinge (2,0) com ponto fechado.
– Para x>2, é a reta y=x-1, que passa por (2,1) com ponto aberto e cresce com inclinação 1.

Resposta

(a) limxto2^-f(x)=0 e limxto2^+f(x)=1
(b) limxto2f(x) não existe, pois os limites laterais são diferentes.
(c) Gráfico: parte da parábola y=4-x^2 até (2,0) (incluso) e reta y=x-1 para x>2 começando em (2,1) (aberto).

Exercícios relacionados