$y^{\prime}-2 y=c^{21}, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y = c^21,
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo aqui é resolução de EDO linear usando fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão y' + p(x),y = q(x), onde p(x)=-2 e q(x)=c^21. O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por mu(x), obtendo
e^-2xy' - 2e^-2xy = c^21e^-2x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y,e^-2x, isto é,
ddxl(y,e^-2xr) = c^21e^-2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-2x = integral c^21e^-2x,dx = -c^212,e^-2x + K,
onde K é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^2x:
y = -tfracc^212 + K,e^2x
Usamos y(0)=2 para achar K:
2 = -tfracc^212 + K Longrightarrow K = 2 + tfracc^212

Resposta

y(x) = -c^212 + l(2 + c^212r)e^2x,
ou, de forma equivalente,
y(x) = 2e^2x + c^212l(e^2x-1r)

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