$y^{\prime}+2 y=t e^{-2 t}, y(1)=0

Passo 1

O exercício pede pra resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem
y' + 2y = t,e^-2t, y(1)=0
Conteúdo: equações diferenciais lineares de primeira ordem.
O que vamos precisar: reconhecer a forma y'+p(t)y=g(t), achar o fator integrante u(t)=e^integral p(t),dt, multiplicar toda a equação por u(t), integrar e usar a condição inicial.

Passo 2

Identificar p(t) e g(t):
Aqui p(t)=2 e g(t)=t,e^-2t.
O fator integrante é
u(t)=e^integral p(t),dt=e^integral 2,dt=e^2t

Passo 3

Multiplicar a equação original por u(t)=e^2t:
e^2ty' + 2e^2ty = t,e^-2t,e^2t = t
O lado esquerdo vira a derivada do produto e^2ty, ou seja:
ddtl(e^2tyr)=t

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddt(e^2ty),dt = integral t,dt
e^2ty = t^22 + C

Passo 5

Despejar y e aplicar a condição inicial y(1)=0:
y(t)=e^-2tl(tfract^22+Cr)
Quando t=1, 0=y(1)=e^-2l(tfrac12+Cr), logo
tfrac12 + C = 0 Rightarrow C=-tfrac12

Resposta

boxedy(t) = e^-2tl(tfract^22 - tfrac12r) = t^2-12,e^-2t

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