Determine uma solução geral para cada uma das equações diferenciais a seguir:
(D-32)(D+12)(D+5) y=0( explicar D=dd x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
l(D - tfrac32r)l(D + tfrac12r)(D + 5),y = 0,
onde D = ddx. Vamos usar o método do polinômio característico: cada fator em D gera uma raiz e, portanto, uma solução exponencial.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo D por r:
(r - tfrac32)(r + tfrac12)(r + 5) = 0

Passo 3

Resolvendo cada fator igual a zero, obtemos as raízes
r1 = tfrac32, r2 = -tfrac12, r3 = -5

Passo 4

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x + C3 e^r3 x

Resposta

y(x) = C1 e^32x + C2 e^-12x + C3 e^-5x

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