$t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=e^{-t}, y(-1)=0, t<0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
t^3y' + 4t^2y = e^-t, t<0, y(-1)=0
O conteúdo é resolução de equação linear do tipo
y' + p(t)y = q(t),
e vamos precisar do fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por t^3 (que não é zero em t<0):
y' + 4t,y = t^-3e^-t
O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 4t,dtr) = exp(4ln|t|)=t^4
(para t<0, |t|=-t, mas como é potência par fica t^4). Multiplicando a equação por t^4 obtemos
(t^4 y)' = t^4 y' +4t^3y = t^4cdot t^-3e^-t = t,e^-t
Integramos em relação a t:
t^4 y = integral t,e^-t,dt = -l(t+1r)e^-t + C

Passo 3

Usamos a condição inicial y(-1)=0. Ao fazer t=-1 temos
(-1)^4,y(-1) = C Longrightarrow C=0
Logo a solução geral que satisfaz a condição é
t^4 y = -l(t+1r)e^-t Longrightarrow y(t) = -t+1t^4,e^-t

Resposta

y(t) = -t+1t^4,e^-t, t<0

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