(3.24) Na temperatura de 20^circ C, um líquido ascende a 5,00 cm em um capilar e sua densidade é de 800 kg cdot m^-3. A que altura ascenderá esse líquido no mesmo capilar, na temperatura de 80^circ C, quando sua densidade é de 700 kg cdot m^-3. Considere que o capilar não sofra dilatação térmica e que a temperatura crítica do líquido seja de 300^circ C.
Resposta: 4,11 times 10^-2 m

Passo 1

O enunciado trata da elevação de um líquido em um capilar, que a 20^circC atinge h1=5,00,cm com densidade rho1=800,kg/m³, e pergunta qual será a altura h2 a 80^circC quando rho2=700,kg/m³. Para resolver vamos usar a fórmula de capilaridade
h=2gammacosthetar,rho,g,
a dependência de gamma com a temperatura dada pela lei de Eötvös
gamma,V^2/3=k,(Tc-T),
e o fato de que o capilar não dilata (logo r e g são constantes) e o ângulo de contato thetaapprox0 (portanto costheta=1).

Passo 2

Da fórmula de capilaridade, como r, g e costheta são constantes para as duas temperaturas, temos
hproptogammarho
Assim,
h2h1=gamma2/rho2gamma1/rho1 =gamma2gamma1,rho1rho2

Passo 3

Pela lei de Eötvös, gamma,V^2/3=k,(Tc-T). Como V=M/rho (mesma massa molar M em ambas as temperaturas),
gammapropto (Tc-T),V^-2/3propto(Tc-T),rho^2/3
Logo,
gamma2gamma1 =(Tc-T2),rho2^2/3(Tc-T1),rho1^2/3 =Tc-T2Tc-T1,l(rho2rho1r)^2/3

Passo 4

Substituindo esse resultado na razão h2/h1 obtém-se
h2h1 =Tc-T2Tc-T1,l(rho2rho1r)^2/3 rho1rho2 =Tc-T2Tc-T1,l(rho1rho2r)^1/3
Portanto
h2 =h1;Tc-T2Tc-T1;l(rho1rho2r)^1/3

Passo 5

Agora basta substituir Tc=300^circC, T1=20^circC, T2=80^circC, h1=5,00,cm, rho1=800,kg/m³ e rho2=700,kg/m³:
h2 =0,0500;300-80300-20;l(800700r)^1/3 =0,0500;220280;(1,1429)^1/3 approx4,11times10^-2 m

Resposta

4,11times10^-2m

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