A fluidized coal reactor has been proposed for a new power plant. If the coal can be assumed to be spherical, reduce the general differential equation for mass transfer to obtain a specific differential equation for describing the steady-state diffusion of oxygen to the surface of the coal particle.
Determine the Fick’s law relationship for the flux of oxygen from the surrounding air environment if
a. only carbon monoxide, CO , is produced at the surface of the carbon particle;
b. only carbon dioxide, \mathrm{CO}_{2}\, is produced at the surface of the carbon particle.
If the reaction at the surface of the carbon particle is instantenous, give two boundary conditions that might be used in solving the differential equation.

Passo 1

Entender direitinho o que o exercício pede e quais dados temos.\n
  • Pedido 1: reduzir a equação diferencial geral de transferência de massa para o caso específico de difusão estacionária de oxigénio até a superfície de uma partícula de carvão esférica.
  • Pedido 2: determinar a relação de Fick (fluxo de O2) quando (a) somente CO é produzido na superfície; (b) somente CO2 é produzido na superfície.
  • Pedido 3: se a reação na superfície for instantânea, fornecer duas condições de contorno que podem ser usadas na resolução da equação diferencial.
  • Dados/pressupostos implícitos (aceitos para tornar o problema resolúvel): partícula homogênea e esférica de raio r_p, difusão radial simétrica (somente dependência em r), regime estacionário (nenhuma variação temporal), ausência de geração homogénea de O2 no volume do gás (apenas consumo na superfície), coeficiente de difusão D constante (ou função de r que poderemos simplificar para constante se necessário), meio gasoso ideal com concentração molar total aproximadamente constante (pressão e temperatura constantes).
    Observação: não estou resolvendo numericamente; vou reduzir a equação geral e fornecer as relações e condições de contorno pedidas.

Passo 2

Breve aula: equação de conservação de espécie e forma geral em coordenadas esféricas.\n
  • Conservação molar da espécie A (oxigénio) em forma geral, em regime estacionário e sem geração volumétrica, diz que o fluxo molar de A tem divergência nula:
\nabla\cdot\mathbf{N}_A = 0.
  • Em coordenadas esféricas, para campo puramente radial \mathbf{N}_A=N_A(r)\,\hat{e}_r, a divergência vale
\nabla\cdot\mathbf{N}_A = \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}N_A(r)\bigr).
  • Portanto a equação de conservação em regime estacionário e sem geração volumétrica reduz a
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}N_A(r)\bigr)=0.
(Isto é uma forma muito geral: diz que o fluxo radial vezes r^2 é constante.)

Passo 3

Conectar o fluxo à lei de Fick (aula sobre Fick) e escrever N_A em termos da concentração.\n
  • A primeira lei de Fick (para difusão molecular simples, no referencial molar local) diz, em radial,
N_A(r) = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dr},
onde \,C_A(r)\, é a concentração molar de oxigénio ( \mathrm{mol/m^3}) e D_{AB} é o coeficiente de difusão de \mathrm{O_2} no restante do ar.
  • Significado das variáveis: N_A é o fluxo molar de A (positivo no sentido radial para fora), D_{AB} tem dimensão \mathrm{m^2/s}, C_A tem dimensão \mathrm{mol/m^3}.
  • Observação: em casos não-equimolares ou com correntes convectivas induzidas por mudança no nº de mols, a expressão completa para o fluxo inclui um termo convectivo. Aqui estamos a reduzir a equação por difusão pura (pressuposto usual para este tipo de questão introdutória). Se for necessário incluir fluxo convectivo, adicionaríamos um termo +C_A v(r) onde v(r) é a velocidade molar média; mas para reduzir à forma canónica, usaremos somente Fick simples.

Passo 4

Substituir N_A pela lei de Fick na equação de conservação e obter a equação diferencial específica.\n
  • Substituindo N_A(r) = -D_{AB}\,dC_A/dr em \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\bigl(r^{2}N_A\bigr)=0 obtemos
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\biggl(-D_{AB}\,r^{2}\frac{dC_A}{dr}\biggr)=0.
  • Se D_{AB} for constante (hipótese comum), podemos tirar D_{AB} para fora da derivada e simplificar:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\biggl(r^{2}\frac{dC_A}{dr}\biggr)=0.
Esta é a equação diferencial específica para a difusão estacionária radial de \mathrm{O_2} ao redor de uma partícula esférica.

Passo 5

Resolver formalmente a equação diferencial (integração) para ver a forma da solução e do fluxo.\n
  • Integrando \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\bigl(r^{2}dC_A/dr\bigr)=0 obtemos
r^{2}\frac{dC_A}{dr}=K_1,
onde K_1 é constante de integração. Dividindo e integrando novamente:
\frac{dC_A}{dr}=\frac{K_1}{r^{2}}\quad\Rightarrow\quad C_A(r) = -\frac{K_1}{r} + K_2,
onde K_2 é outra constante de integração. Portanto a solução geral tem a forma clássica
C_A(r)=K_2-\frac{K_1}{r}.
  • Usando a lei de Fick para o fluxo radial:
N_A(r) = -D_{AB}\frac{dC_A}{dr} = -D_{AB}\biggl(\frac{K_1}{r^{2}}\biggr) = -\frac{D_{AB}K_1}{r^{2}}.
Mas note que K_1 será negativo se C_A diminui ao aproximar da partícula (fluxo dirigido para dentro).

Passo 6

Aplicar condições de contorno típicas para ligar as constantes e obter expressão prática do fluxo (aula com exemplo concreto).\n
  • Condições laboratoriais usuais: no infinito (ou a uma distância muito maior que r_p) a concentração tende ao valor do meio, C_A(\infty)=C_{A,\infty}. Na superfície da partícula r=r_p a concentração é C_A(r_p)=C_{A,s} (valor na superfície). Aplicando essas duas condições à solução geral:
C_{A,\infty}=K_2,\qquad C_{A,s}=K_2-\frac{K_1}{r_p}.
Logo K_1 = r_p\,(C_{A,\infty}-C_{A,s}). Substituindo no fluxo em r=r_p dá:
N_A(r_p) = -\frac{D_{AB}K_1}{r_p^{2}} = -\frac{D_{AB}}{r_p^{2}}\;r_p\,(C_{A,\infty}-C_{A,s}) = -\frac{D_{AB}}{r_p}\,(C_{A,\infty}-C_{A,s}).
  • Interpretação de sinal: \,N_A(r_p) é o fluxo molar de O2 no ponto r_p no sentido radial externo. Se O2 é consumido na superfície, o fluxo está dirigido para dentro (negativo no sinal aqui), então a magnitude do fluxo que entra na superfície é
\text{magnitude do fluxo de O}_2 = \frac{D_{AB}}{r_p}\,(C_{A,\infty}-C_{A,s}).
  • Caso de reação instantânea na superfície: C_{A,s}=0 e a magnitude do fluxo simplifica para
\text{magnitude do fluxo de O}_2 = \frac{D_{AB}}{r_p}\,C_{A,\infty}.

Passo 7

Relacionar o fluxo de O2 com os produtos (CO ou CO2) via estequiometria (aula de estequiometria aplicada a fluxos).\n
  • Definamos o fluxo molar positivo no sentido radial para fora como N\!_X para espécie X. Se o produto gasoso sai para fora (fluxo positivo), e o oxigénio entra (fluxo negativo), as relações estequiométricas na superfície ligam os fluxos. Tomar contador de sinais com cuidado: o consumo de \mathrm{O_2} é igual, em módulo, ao coeficiente estequiométrico vezes o fluxo de produto.\n
  • Reação (a): produção somente de \mathrm{CO} com equação estequiométrica
\mathrm{C (s)} + \tfrac{1}{2}\,\mathrm{O_2 (g)} \longrightarrow \mathrm{CO (g)}.
Isto significa que para cada 1 mol de \mathrm{CO} formado, \tfrac{1}{2} mol de \mathrm{O_2} é consumido. Em termos de fluxos molares na superfície:
N_{\mathrm{O_2}}(r_p) = -\tfrac{1}{2}\,N_{\mathrm{CO}}(r_p).
(O sinal negativo indica que \mathrm{O_2} está entrando para o interior — consumido — enquanto \mathrm{CO} sai para fora.)
  • Reação (b): produção somente de \mathrm{CO_2} com equação estequiométrica
\mathrm{C (s)} + \mathrm{O_2 (g)} \longrightarrow \mathrm{CO_2 (g)}.
Aqui, para cada 1 mol de \mathrm{CO_2} formado, 1 mol de \mathrm{O_2} é consumido. Assim
N_{\mathrm{O_2}}(r_p) = -1\cdot N_{\mathrm{CO_2}}(r_p).
  • Estas relações estequiométricas podem ser usadas como condições de contorno de fluxo na interface sólido-gás: o fluxo (difusivo) de \mathrm{O_2} que chega à superfície iguala (em magnitude e por coeficiente estequiométrico) o fluxo de produto que sai.

Passo 8

Resumo físico e observações finais sobre as condições para reação instantânea.\n
  • Se a reação na superfície for instantânea (limite cinético \to infinito), então a concentração de \mathrm{O_2} na superfície é praticamente nula: C_A(r_p)=0. Esse é o condicionamento de contorno clássico para difusão limitada por massa em torno de partícula reativa.
  • A outra condição de contorno exterior é que longe da partícula a concentração é a do meio ambiente: C_A(\infty)=C_{A,\infty}. Alternativamente, em problemas práticos usa-se um r=R grande finito com C_A(R)=C_{A,\infty}.
  • Usando estas duas condições obtém-se o fluxo de O2 para a superfície (magnitude):
\left|N_{\mathrm{O_2}}(r_p)\right|=\frac{D_{AB}}{r_p}\,C_{A,\infty}\quad\text{(quando }C_{A,s}=0\text{)}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\biggl(r^{2}\frac{dC_{A}}{dr}\biggr)=0.\n
(a) Relação estequiométrica entre fluxos (aplicável junto à lei de Fick): \displaystyle N_{\mathrm{O_2}}(r_p)=-\tfrac{1}{2}\,N_{\mathrm{CO}}(r_p).\n
(b) Relação estequiométrica entre fluxos (aplicável junto à lei de Fick): \displaystyle N_{\mathrm{O_2}}(r_p)=-\,N_{\mathrm{CO_2}}(r_p).\n
Condições de contorno para reação instantânea: \displaystyle C_{A}(r_p)=0 e \displaystyle C_{A}(\infty)=C_{A,\infty}.

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