A fluidized coal reactor has been proposed for a new power plant. If the coal can be assumed to be spherical, reduce the general differential equation for mass transfer to obtain a specific differential equation for describing the steady-state diffusion of oxygen to the surface of the coal particle.
Determine the Fick’s law relationship for the flux of oxygen from the surrounding air environment if
a. only carbon monoxide, CO , is produced at the surface of the carbon particle;
b. only carbon dioxide,
, is produced at the surface of the carbon particle.
If the reaction at the surface of the carbon particle is instantenous, give two boundary conditions that might be used in solving the differential equation.
a. only carbon monoxide, CO , is produced at the surface of the carbon particle;
b. only carbon dioxide,
If the reaction at the surface of the carbon particle is instantenous, give two boundary conditions that might be used in solving the differential equation.
Passo 1
Entender direitinho o que o exercício pede e quais dados temos.\n
- Pedido 1: reduzir a equação diferencial geral de transferência de massa para o caso específico de difusão estacionária de oxigénio até a superfície de uma partícula de carvão esférica.
- Pedido 2: determinar a relação de Fick (fluxo de O2) quando (a) somente CO é produzido na superfície; (b) somente CO2 é produzido na superfície.
- Pedido 3: se a reação na superfície for instantânea, fornecer duas condições de contorno que podem ser usadas na resolução da equação diferencial.
- Dados/pressupostos implícitos (aceitos para tornar o problema resolúvel): partícula homogênea e esférica de raio
, difusão radial simétrica (somente dependência em ), regime estacionário (nenhuma variação temporal), ausência de geração homogénea de O2 no volume do gás (apenas consumo na superfície), coeficiente de difusão constante (ou função de que poderemos simplificar para constante se necessário), meio gasoso ideal com concentração molar total aproximadamente constante (pressão e temperatura constantes).
Observação: não estou resolvendo numericamente; vou reduzir a equação geral e fornecer as relações e condições de contorno pedidas.
Passo 2
Breve aula: equação de conservação de espécie e forma geral em coordenadas esféricas.\n
- Conservação molar da espécie
(oxigénio) em forma geral, em regime estacionário e sem geração volumétrica, diz que o fluxo molar de tem divergência nula:
- Em coordenadas esféricas, para campo puramente radial
, a divergência vale
- Portanto a equação de conservação em regime estacionário e sem geração volumétrica reduz a
(Isto é uma forma muito geral: diz que o fluxo radial vezes
é constante.)
Passo 3
Conectar o fluxo à lei de Fick (aula sobre Fick) e escrever
em termos da concentração.\n
- A primeira lei de Fick (para difusão molecular simples, no referencial molar local) diz, em radial,
onde
é a concentração molar de oxigénio (
) e
é o coeficiente de difusão de
no restante do ar.
- Significado das variáveis:
é o fluxo molar de (positivo no sentido radial para fora), tem dimensão , tem dimensão . - Observação: em casos não-equimolares ou com correntes convectivas induzidas por mudança no nº de mols, a expressão completa para o fluxo inclui um termo convectivo. Aqui estamos a reduzir a equação por difusão pura (pressuposto usual para este tipo de questão introdutória). Se for necessário incluir fluxo convectivo, adicionaríamos um termo
onde é a velocidade molar média; mas para reduzir à forma canónica, usaremos somente Fick simples.
Passo 4
Substituir
pela lei de Fick na equação de conservação e obter a equação diferencial específica.\n
- Substituindo
em obtemos
- Se
for constante (hipótese comum), podemos tirar para fora da derivada e simplificar:
Esta é a equação diferencial específica para a difusão estacionária radial de
ao redor de uma partícula esférica.
Passo 5
Resolver formalmente a equação diferencial (integração) para ver a forma da solução e do fluxo.\n
- Integrando
obtemos
onde
é constante de integração. Dividindo e integrando novamente:
onde
é outra constante de integração. Portanto a solução geral tem a forma clássica
- Usando a lei de Fick para o fluxo radial:
Mas note que
será negativo se
diminui ao aproximar da partícula (fluxo dirigido para dentro).
Passo 6
Aplicar condições de contorno típicas para ligar as constantes e obter expressão prática do fluxo (aula com exemplo concreto).\n
- Condições laboratoriais usuais: no infinito (ou a uma distância muito maior que
) a concentração tende ao valor do meio, . Na superfície da partícula a concentração é (valor na superfície). Aplicando essas duas condições à solução geral:
Logo
. Substituindo no fluxo em
dá:
- Interpretação de sinal:
é o fluxo molar de O2 no ponto no sentido radial externo. Se O2 é consumido na superfície, o fluxo está dirigido para dentro (negativo no sinal aqui), então a magnitude do fluxo que entra na superfície é
- Caso de reação instantânea na superfície:
e a magnitude do fluxo simplifica para
Passo 7
Relacionar o fluxo de O2 com os produtos (CO ou CO2) via estequiometria (aula de estequiometria aplicada a fluxos).\n
- Definamos o fluxo molar positivo no sentido radial para fora como
para espécie . Se o produto gasoso sai para fora (fluxo positivo), e o oxigénio entra (fluxo negativo), as relações estequiométricas na superfície ligam os fluxos. Tomar contador de sinais com cuidado: o consumo de é igual, em módulo, ao coeficiente estequiométrico vezes o fluxo de produto.\n - Reação (a): produção somente de
com equação estequiométrica
Isto significa que para cada
mol de
formado,
mol de
é consumido. Em termos de fluxos molares na superfície:
(O sinal negativo indica que
está entrando para o interior — consumido — enquanto
sai para fora.)
- Reação (b): produção somente de
com equação estequiométrica
Aqui, para cada
mol de
formado,
mol de
é consumido. Assim
- Estas relações estequiométricas podem ser usadas como condições de contorno de fluxo na interface sólido-gás: o fluxo (difusivo) de
que chega à superfície iguala (em magnitude e por coeficiente estequiométrico) o fluxo de produto que sai.
Passo 8
Resumo físico e observações finais sobre as condições para reação instantânea.\n
- Se a reação na superfície for instantânea (limite cinético
infinito), então a concentração de na superfície é praticamente nula: . Esse é o condicionamento de contorno clássico para difusão limitada por massa em torno de partícula reativa. - A outra condição de contorno exterior é que longe da partícula a concentração é a do meio ambiente:
. Alternativamente, em problemas práticos usa-se um grande finito com . - Usando estas duas condições obtém-se o fluxo de O2 para a superfície (magnitude):
Resposta
(a) Relação estequiométrica entre fluxos (aplicável junto à lei de Fick):
(b) Relação estequiométrica entre fluxos (aplicável junto à lei de Fick):
Condições de contorno para reação instantânea: